江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学教学情况调研试题（一）（含解析）

江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学教学情况调研试题（一）（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知i为虚数单位，复数，则 2已知集合a，b，若ab中有且只有一个元素，则实数a的值为 3已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 4在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线(a0)的一条渐近线方程为，则a 5甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是 6右图是一个算法的流程图，则输出的x的值为 7“直线l1：与直线l2：平行”是“a2”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8已知等差数列的前n项和为，则 9已知点m是曲线y2lnxx23x上一动点，当曲线在m处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 10已知，(，)，则 11如图在矩形abcd中，e为边ad的中点，ab1，bc2分别以a，d为圆心，1为半经作圆弧eb，ec，将两圆弧eb，ec及边bc所围成的平面图形（阴影部分）绕直线ad旋转一周，所形成的几何体的体积为 12在abc中，()(1)，若角a的最大值为，则实数的值是 13若函数(a0且a1)在定义域m，n上的值域是m2，n2(1mn)，则a的取值范围是 14如图，在abc中，ab4，d是ab的中点，e在边ac上，ae2ec，cd与be交于点o，若oboc，则abc面积的最大值为 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）在abc中，角a，b，c所对应的边分别为a，b，c，且满足（1）求a；（2）已知a，b，求abc的面积16（本小题满分14分）如图，在四棱锥pabcd中，四边形abcd为平行四边形，bddc，pcd为正三角形，平面pcd平面abcd，e为pc的中点（1）证明：ap平面ebd；（2）证明：bepc17（本小题满分14分）某地为改善旅游环境进行景点改造如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道ab连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中a为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于m），在堤岸线l3上的e，f两处建造建筑物，其中e，f到m的距离为1（百米），且f恰在b的正对岸（即bfl3）（1）在图中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道ab的方程；（2）游客（视为点p）在栈道ab的何处时，观测ef的视角(epf)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点p的坐标18（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：(ab0)的离心率为且经过点(1，)，a，b分别为椭圆c的左、右顶点，过左焦点f的直线l交椭圆c于d，e两点（其中d在x轴上方）（1）求椭圆c的标准方程；（2）若aef与bdf的面积之比为1：7，求直线l的方程19（本小题满分16分）已知函数(mr)的导函数为（1）若函数存在极值，求m的取值范围；（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意mr，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合20（本小题满分16分）已知数列，数列满足，n（1）若，求数列的前2n项和；（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等；数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由第ii卷（附加题，共40分）21【选做题】本题包括a，b，c三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤a选修42：矩阵与变换已知矩阵，且二阶矩阵m满足am=b，求m的特征值及属于各特征值的一个特征向量。b选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，曲线l的参数方程为，以原点o为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为r=4sinq。（1）求曲线c的普通方程；（2）求曲线l和曲线c的公共点的极坐标。c选修45：不等式选讲已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且的最小值为，求实数t的值。【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）。抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额x的概率分布和数学期望;（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.23（本小题满分10分）已知抛物线c:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为f，过点f且斜率为k(k0)的直线交c于a，b两点，线段ab的垂直平分线交y轴于点e，抛物线c在点a，b处的切线相交于点g.记四边形aebg的面积为s.（1）求点g的轨迹方程；（2）当点g的横坐标为整数时，s是否为整数？若是，请求出所有满足条件的s的值；若不是，请说明理由.20192020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学i一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知i为虚数单位，复数，则 答案：考点：复数解析：2已知集合a，b，若ab中有且只有一个元素，则实数a的值为 答案：2考点：集合交集运算解析：由题意知a11，得a23已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 答案：0.08考点：方差解析：首先求得，4在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线(a0)的一条渐近线方程为，则a 答案：3考点：双曲线的渐近线解析：由题意知：，a35甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是 答案：考点：概率解析：乙不输包括乙获胜或和棋，故p6右图是一个算法的流程图，则输出的x的值为 答案：6考点：算法与流程图解析：第一次：x4，y16， 第二次：x5，y32， 第三次：x6，y64，此时641063，输出x，故输出x的值为67“直线l1：与直线l2：平行”是“a2”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）答案：必要不充分考点：两直线平行，充要性解析：“直线l1：与直线l2：平行”等价于a2，故“直线l1：与直线l2：平行”是“a2”的必要不充分条件8已知等差数列的前n项和为，则 答案：考点：等差数列及其性质解析：9已知点m是曲线y2lnxx23x上一动点，当曲线在m处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 答案：考点：导数与切线，基本不等式解析：，1时有最小值1，此时m(1，2)， 故切线方程为：，即10已知，(，)，则 答案：考点：两角和与差的三角函数，二倍角的三角函数，同角三角函数关系式解析：， 则，11如图在矩形abcd中，e为边ad的中点，ab1，bc2分别以a，d为圆心，1为半经作圆弧eb，ec，将两圆弧eb，ec及边bc所围成的平面图形（阴影部分）绕直线ad旋转一周，所形成的几何体的体积为 答案：考点：圆柱与球的体积解析：12在abc中，()(1)，若角a的最大值为，则实数的值是 答案：3考点：平面向量数量积解析： ，解得313若函数(a0且a1)在定义域m，n上的值域是m2，n2(1mn)，则a的取值范围是 答案：(1，)考点：函数与导数综合解析：由题意知：与的图像在(1，)上恰有两个交点 考查临界情形：与切于， 14如图，在abc中，ab4，d是ab的中点，e在边ac上，ae2ec，cd与be交于点o，若oboc，则abc面积的最大值为 答案：考点：向量与解三角形、圆的综合解析：设 b，o，e共线，则，解得，从而o为cd中点，故， 在bod中，bd2，易知o的轨迹为阿圆，其半径， 故二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）在abc中，角a，b，c所对应的边分别为a，b，c，且满足（1）求a；（2）已知a，b，求abc的面积解：（1）由正弦定理：，得： b为abc内角，故sinb0，所以， 若，则，与矛盾，故， 因此，又a为abc内角，所以； （2）由正弦定理得：， 故16（本小题满分14分）如图，在四棱锥pabcd中，四边形abcd为平行四边形，bddc，pcd为正三角形，平面pcd平面abcd，e为pc的中点（1）证明：ap平面ebd；（2）证明：bepc证明：（1）连结ac交bd于点o，连结oe 因为四边形abcd为平行四边形 o为ac中点，又e为pc中点， 故apoe，又ap平面ebd，oe平面ebd 所以ap平面ebd； （2）pcd为正三角形，e为pc中点 所以pcde 因为平面pcd平面abcd，平面pcd平面abcdcd， 又bd平面abcd，bdcd bd平面pcd 又pc平面pcd，故pcbd 又bdded，bd平面bde，de平面bde 故pc平面bde 又be平面bde，所以bepc17（本小题满分14分）某地为改善旅游环境进行景点改造如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道ab连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中a为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于m），在堤岸线l3上的e，f两处建造建筑物，其中e，f到m的距离为1（百米），且f恰在b的正对岸（即bfl3）（1）在图中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道ab的方程；（2）游客（视为点p）在栈道ab的何处时，观测ef的视角(epf)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点p的坐标解：（1）以a为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系 由题意知：b(1，0.5)，设抛物线方程为 代入点b得：p1，故方程为，x0，1； （2）设p(，)，t0，作pql3于q，记epq，fpq ， 令，则： 当且仅当即，即，即时取等 故p(，)时视角epf最大， 答：p(，)时，视角epf最大18（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：(ab0)的离心率为且经过点(1，)，a，b分别为椭圆c的左、右顶点，过左焦点f的直线l交椭圆c于d，e两点（其中d在x轴上方）（1）求椭圆c的标准方程；（2）若aef与bdf的面积之比为1：7，求直线l的方程解：（1）设焦距为2c，由题意知：； （2）由（1）知：f(1，0)，设l：，d(，)，e(，)，0 ， ， ， 由得：， 代入得：，又，故， 因此，直线l的方程为19（本小题满分16分）已知函数(mr)的导函数为（1）若函数存在极值，求m的取值范围；（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意mr，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合解：（1）因为，所以， 所以， 则， 由题意可知，解得； （2）由（1）可知， 所以 因为 整理得， 设，则，所以单调递增， 又因为，且m， 所以存在，使得， 设， 则， 设，则， 所以单调递增，因为， 所以存在，使得，即， 且当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以， 又由题意可知，所以， 解得，所以正整数k的取值集合为1，220（本小题满分16分）已知数列，数列满足，n（1）若，求数列的前2n项和；（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等；数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由解：（1）因为，所以，且， 由题意可知，数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 数列是首项和公比均为4的等比数列， 所以； （2）设数列的公差为，数列的公差为， 当n为奇数时， 若，则当时， 即，与题意不符，所以， 当n为偶数时， 若，则当时，即，与题意不符，所以， 综上，原命题得证； 假设可以为等比数列，设公比为q， 因为，所以，所以， 因为当时， 所以当n为偶数，且时， 即当n为偶数，且时，不成立，与题意矛盾， 所以数列不能为等比数列第ii卷（附加题，共40分）21【选做题】本题包括a，b，c三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤a选修42：矩阵与变换已知矩阵，且二阶矩阵m满足am=b，求m的特征值及属于各特征值的一个特征向量。解：设矩阵m，则am，所以，解得，所以m，则矩阵m的特征方程为，解得，即特征值为1，设特征值的特征向量为，则，即，解得x0，所以属于特征值的的一个特征向量为b选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，曲线l的参数方程为，以原点o为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为r=4sinq。（1）求曲线c的普通方程；（2）求曲线l和曲线c的公共点的极坐标 解：（1）曲线c的极坐标方程为， ，则 即： （2）， ， （舍）或， 公共点(，3)，极坐标(2，)c选修45：不等式选讲已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且的最小值为，求实数t的值。解：因为 即，当且仅当，时，上述等号成立， 所以，即，又x，y，z0，x+y+z=t4【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）。抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额x的概率分布和数学期望;（2）赵四购物恰好满600元，假