江西省重点中学协作体2019届高三数学第二次联考试题 文（含解析）

江西省重点中学协作体2019届高三数学第二次联考试题 文（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】解分式不等式求得集合，然后求两个集合的交集.【详解】由，解得，故，故选c.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.2.在复平面内，设复数，对应的点关于实轴对称，（是虚数单位），则（ ）a. 5b. -5c. d. 【答案】a【解析】【分析】求得，然后计算出的值.【详解】依题意可知，故，故选a.【点睛】本小题主要考查复数的对称性，考查复数的乘法运算，属于基础题.3.在区间内任取一个数，则的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据几何概型概率计算公式计算出概率.【详解】根据几何概型概率计算公式有，所求概率为，故选d.【点睛】本小题主要考查几何概型概率计算，属于基础题.4.等差数列的前项和为，若，则（ ）a. 27b. 36c. 45d. 54【答案】b【解析】【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得的值.【详解】依题意，所以，故选b.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题.5.下表是某个体商户月份与营业利润（万元）的统计数据：月份1234利润（万元）4.5432.5由散点图可得回归方程，据此模型预测，该商户在5月份的营业利润为（ ）a. 1.5万元b. 1.75万元c. 2万元d. 2.25万元【答案】b【解析】【分析】先计算出，代入回归直线方程求得的值，然后令求得月份营业利润的估计值.【详解】依题意，代入回归直线方程得，.当时，万元.故选b.【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，考查用回归直线方程进行预测，属于基础题.6.在如图所示的框图中，若输出，那么判断框中应填入的关于的判断条件是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】运行程序，当时，退出循环，输出的值，由此判断出所填写的条件.【详解】运行程序，判断否，判断否，判断否，判断否，判断否，判断是，输出.故选b.【点睛】本小题主要考查根据循环结构输出结果来填写条件，属于基础题.7.已知在正项等比数列中，则的个位数字是（ ）a. 2b. 4c. 6d. 8【答案】c【解析】【分析】根据已知条件求得，求得的表达式，由此求得其各位数字.【详解】依题意，解得，故，注意到个位数是，个位数是，个位数是，的个位数是，的个位数是，的个位数是，故的个位数的周期为，而，故其个位数为，故选c.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求解等比数列的通项，考查合情推理，属于基础题.8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则的解集是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】画出函数 的图象，根据图象列不等式，由此求得的解集.【详解】画出函数图象如下图所示，由图可知，或，解得.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查数形结合的数学思想方法，考查函数不等式的解法，属于基础题.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）a. b. 5c. d. 4【答案】a【解析】【分析】根据三视图判断出几何体的结构，进而计算出几何体的表面积.【详解】画出三视图对应的原图如下图四棱锥，其中,，故四棱锥的表面积为.故选a.【点睛】本小题主要考查三视图还原原图，考查四棱锥表面积的计算，考查空间想象能力，属于基础题.10.已知函数，且，则的最小值为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据的最大值和最小值，判断分别是最大值和最小值，由此求得的最小值.【详解】依题意，故分别是最大值和最小值. 要使取得最小值，则需是一正一负的最大值和最小值对应的横坐标，而最接近轴的最值是，故的最小值为.故选b.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换：辅助角公式，考查三角函数的最大值和最小值，属于中档题.11.双曲线：的左焦点为，右顶点为，虚轴的一个端点为，若为等腰三角形，则双曲线的离心率是（ ）a. b. c. 或d. 【答案】d【解析】【分析】根据为等腰三角形，得到，在直角三角形中，利用勾股定理列方程，由此求得离心率.【详解】由于为等腰三角形，故，直角三角形中，由勾股定理得，即，两边除以得，解得（负根舍去）.故本小题选d.【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线的离心率的求法，属于基础题.12.已知函数，若关于不等式恰有3个整数解，则这3个整数解为（ ）a. 1，2，3b. 2，3，4c. 3，4，5d. 4，5，6【答案】b【解析】【分析】化简得，构造函数，利用导数求得的单调区间，由不等式恰有个整数解列不等式，由此求得这三个整数解.【详解】解：，则，而，所以.令，则，所以在上递增，在上递减，而，不等式恰有3个整数解，则不等式恰有3个整数解，所以时，不等式恰有3个整数解2，3，4，故选b.【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式的整式解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题.13.已知向量，则_.【答案】-10【解析】【分析】利用向量减法和数量积的运算，直接计算出结果.【详解】依题意.【点睛】本小题主要考查向量的减法和数量积运算，属于基础题.14.函数的图像在点处的切线斜率为_.【答案】6【解析】【分析】先求得导函数，令求得切线的斜率.【详解】依题意，故，也即切线的斜率为.【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查切线斜率的求法，属于基础题.15.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】将目标函数对应的基准直线向上平移到阴影部分的边界位置，根据圆心到直线的距离等于列方程，由此求得的最大值.【详解】根据线性规划的知识，将目标函数对应的基准直线向上平移到阴影部分的边界位置，即直线与圆在第一象限部分相切时，取得最大值. 根据圆心到直线的距离等于得，解得.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查线性规划求最大值，属于基础题.16.已知抛物线：的焦点为，且到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，与准线交于点，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义，求得抛物线方程，求得点坐标，进而求得直线的方程，与联立，求得的坐标.根据抛物线的定义化简，由此求得最后结果.【详解】依题意得：，焦点，不妨设点在轴的下方，所以，.则过点的直线：，与联立消去得：，所以，.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和标准方程，考查直线和抛物线交点的坐标求法，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在中，角，所对边分别为，且，点在上，且.（）若的面积为，求的长；（）若，且，求值.【答案】（）（）【解析】【分析】（）根据三角形的面积列方程，求得，然后利用余弦定理求得.（）利用正弦定理求得，的表达式，代入，求得，进而求得的值.【详解】解：（）的面积为，所以，.所以.（）若，在中，所以，同理，所以，.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，与交于，点为上一点，且.（）证明：平面；（）若直线与底面所成的角为，且，求四棱锥的体积.【答案】（）见证明；（）【解析】【分析】（）利用得到，结合题目所给条件得到，由此证得平面.（）先证得为直线与底面所成的角，即，根据，求得后利用锥体体积公式计算出的体积.【详解】（）证明：在等腰梯形中，则，所以，又，所以，则平面；（）解：若直线与底面所成角为，而平面，所以为直线与底面所成的角，则，又在等腰梯形中，所以，均为等腰直角三角形，所以，.所以四棱锥的体积为.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明方法，考查四棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.随着社会的发展，阅读纸质书本的人数逐渐减少，为了了解某大学男女生阅读纸质书本的情况，调查人员随机抽取了100名在校大学生了解其阅读情况，得到如下数据：每月读书本数1本2本3本4本5本6本及以上男4337830女6543720合计1087101550（）在每月读书超过5本的样本中，按性别用分层抽样随机抽取5名学生.求抽取的5名学生中男、女生各多少人；从这5名学生中随机抽取2名学生，求抽取的2名学生恰为一男生一女生的概率.（）如果认为每月纸质读书的本数超过3本的学生为“阅读达人”，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为“阅读达人”与性别有关？参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.【答案】（）男生有3人，女生2人;（）不能【解析】【分析】（）根据读书6本及以上男生和女生的比例，求得抽取的男生和女生的人数. 利用列举法，根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.（）根据题目所给数据列联表，计算出的值，由此判断出在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为阅读达人与性别有关.【详解】（）由表格可知，样本中每月阅读本数超过5本的男生有30人，女生20人，在这50人中，按性别分层抽样抽取5名学生，其中男生有3人，女生有2人.记抽取的3名男生分别，；女生分别记为，.再从这5名用户随机抽取2名学生，共包含，10种等可能的结果.抽取的2名学生恰为一男生一女生这一事件包含，共计6种等可能的结果，由古典概型的计算公式可得：.（）由图中表格可得列联表：非阅读达人阅读达人合计男104555女153045合计2575100将列联表中的数据代入公式计算得，所以，在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为阅读达人与性别有关.【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查古典概型概率计算，考查列联表独立性检验等知识，属于基础题.20.已知椭圆：的离心率为，长轴长为8.（）求椭圆的方程；（）如图所示，椭圆的左顶点为，右焦点为，经过点的动直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最大值.【答案】（）（）【解析】分析】（）根据离心率和长轴长，结合，求得，由此求得椭圆的方程.（）设直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式，求得四边形面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值.【详解】解：（），又，所以，椭圆的方程为：；（）由题意可设直线的方程为，联立得，得，则，设，则四边形面积，而，令，则，当且仅当时取“”，所以，所以面积的最大值为.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查与面积的最值有关计算，考查运算求解能力 ，属于中档题.21.已知函数.（）若，求函数的单调区间；（）若，确定的零点个数.【答案】（）的单调区间递减区间为，单调区间递增区间为；（）的零点个数为0【解析】【分析】（）求得函数的一阶导数和二阶导数，根据二阶导数为正数，得到一阶导数单调递增，根据求得的单调区间.（）先确定的取值范围.解法一：先利用构造函数法证得，得到，由此证得，即没有零点.解法二：利用的二阶导数，得到在上单调递减，在上单调递增，故，故没有零点.【详解】解：（）若，则函数，在上递增，而，所以当时，所以当时，的单调区间递减区间为，单调区间递增区间为；（）解法1：若，.先证明：，设，则.所以在上递增，在上递减，则，所以，由此可得：，所以的零点个数为0.（）解法2：若，则.，.（1）当时，（2）当时，当时，当时，.由（1）（2）可得函数在上单调递增，而，所以时，；时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以的零点个数为0.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的零点个数，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.（）写出曲线与直线的直角坐标方程；（）过点且平行于直线的直线与曲线交于、两点，若，求的值.【答案】（）曲线直角坐标方程：，直线的直角坐标方程：.（）【解析】【分析】（）将曲线的参数方程两边平方后相加，求得对应的直角坐标方程.利用求得直线的直角坐标方程.（）设出直线的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，利用直线参数的几何意义结合以及判别式，求得的值.【详解】解：（）曲线的直角坐标方程：，直线的直角坐标方程：.（）设过点且平行于直线的直线为：（为参数），由直线与曲线相交可得：.因为，所以，又，所以.【点睛】本小题主要考查参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解参数的值，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（）求不等式的解集；（）若不等式的解集非空，求的取值范围.【答案】（）（）【解析】【分析