浙江省衢州市2018-2019学年高二数学6月教学质量检测试题（含解析）

浙江省衢州市2018-2019学年高二数学6月教学质量检测试题（含解析）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知为实数集，集合，则（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先求集合b的补集，然后求解两个集合的交集.【详解】因为，所以，所以,故选a.【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，题目较为简单，侧重考查数学运算的核心素养.2.函数的奇偶性是（ ）a. 奇函数b. 偶函数c. 既是奇函数也是偶函数d. 既不是奇函数也不是偶函数【答案】b【解析】【分析】先化简函数，再根据奇偶性定义进行判断.【详解】因为，所以，所以是偶函数，故选b.【点睛】本题主要考查三角函数奇偶性的判定，一般是利用定义进行，侧重考查数学抽象的核心素养.3.已知平面和两条不重合的直线，则“”是“且”的（ ）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】b【解析】【分析】不能推出且，反之可行，所以可知是必要不充分条件.【详解】因为不能推出且，而且能够推出，所以“”是“且”的必要不充分条件，故选b.【点睛】本题主要考查充要条件的判定，侧重考查逻辑推理的核心素养.4.过点的直线与圆：的位置关系是（ ）a. 相离b. 相切c. 相交d. 相交或相切【答案】c【解析】【分析】判断点与圆的位置关系可知过该点的直线与圆的位置关系.【详解】因为，所以点在圆c的内部，所以过点的直线均与圆相交，故选c.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要策略是判断直线所过点与圆的位置关系，侧重考查直观想象的核心素养.5.若实数，满足约束条件，则的最大值等于（ ）a. 2b. 1c. -2d. -4【答案】a【解析】【分析】作出可行域，平移目标函数，找到取最大值的点，然后可求最大值.【详解】根据题意作出可行域如图：平移直线可得在点a处取到最大值，联立可得,代入可得最大值为2，故选a.【点睛】本题主要考查线性规划，作出可行域，平移目标函数，求出最值点是主要步骤，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.6.函数的图象大致是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据解析式的特征，利用函数的性质和特殊值排除选项可求.【详解】因为为奇函数，所以排除a,c选项，取可知，所以排除b选项，故选d.【点睛】本题主要考查函数图象的识别，主要求解策略是利用函数的性质和特殊值来进行排除，侧重考查直观想象的核心素养.7.点在所在平面上，且满足，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用向量的运算，确定p点的位置，根据长度关系可求，面积之比.【详解】因为,所以,所以共线，且，所以.故选b.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，熟悉平面向量的运算规则是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.8.已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】作出图象，观察图象可求a的范围.【详解】如图，分别作出的图象，观察可得当时，即时，函数有两个不同的交点，所以有两个零点，故选d.【点睛】本题主要考查利用函数零点的个数求解参数的范围问题，主要策略是数形结合，侧重考查直观想象的核心素养.9.已知数列的前项和为，且（且，），则下列选项中错误的是（ ）a. 若是等差数列，则b. 若是等比数列，则c. 若不是等差数列，则d. 若不是等比数列，则【答案】d【解析】【分析】逐个选项检验，是等差数列的充要条件是,是等比数列的必要条件是.【详解】对于选项a，因为是等差数列，且，所以；反之若，则，此时，为等差数列；所以a,c均正确. 对于选项b，因为是等比数列，所以一定是不为0的常数，所以；反之若，则，时不是等比数列，故b正确，d不正确，综上故选d.【点睛】本题主要考查数列类型的判定，一般是根据定义来进行判定，侧重考查逻辑推理的核心素养.10.如图所示，在正方形中，点，分别为边，的中点，将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，点与点在某一位置可能重合；点与点最大距离为；直线与直线可能垂直； 直线与直线可能垂直以上说法正确的个数为（ ）a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】c【解析】【分析】将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，a,c的运动轨迹分别是圆；ab,af是以bf为旋转轴的圆锥型侧面；ce,cd是以de为旋转轴的圆锥型侧面.【详解】由题意，在翻折的过程中，a,c的运动轨迹分别是两个平行的圆，所以不能重合，故不正确；点与点的最大距离为正方形的对角线,故正确；由于abf和cde全等，把cde平移使得dc和ab重合，如图，abf绕bf旋转形成两个公用底面的圆锥，ab,cd是稍大的圆锥的母线，由于abf小于45，所以ab,cd的最大夹角为锐角，所以不可能垂直，故不正确；同理可知，由于afb大于45，所以af,be的最大夹角为钝角，所以可能垂直，故正确.综上可知选c.【点睛】本题主要考查空间位置关系的判断，侧重考查直观想象的核心素养.二、填空题：（把正确答案填写在答题卡中的横线上.）11.复数（是虚数单位）的实部为_，_.【答案】 (1). 3 (2). 5【解析】【分析】利用复数实部的定义可知的实部是，z的模长为.【详解】因为，所以实部为3，模长.【点睛】本题主要考查复数的相关概念，熟记概念是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12.抛物线的焦点的坐标是_，若直线与此拋物线相交于，两点，则弦的长为_.【答案】 (1). (2). 4【解析】【分析】利用抛物线的方程与焦点之间的内在联系可得焦点坐标，弦长根据通径可求.【详解】因为抛物线的方程为，所以，所以焦点坐标为,因为恰好经过焦点且与x轴垂直，所以弦长为通径，所以.【点睛】本题主要考查抛物线的性质，抛物线的通径长为，侧重考查直观想象的核心素养.13.若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的表面积是_，体积是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用三视图还原成几何体，根据体积和面积求解公式可得.【详解】根据三视图还原为几何体如图，有三视图中数据可知，ab为三棱锥的高，且ab=2，bcd的底边cd=4,高为2,所以三棱锥的体积为；由图可知abd, abc为直角三角形，面积均为；acd，bcd为等腰三角形，面积分别为和4，所以表面积为.【点睛】本题主要考查三视图，利用三视图求解几何体的体积和表面积时，注意数据的对号入座，侧重考查直观想象的核心素养.14.锐角的三个内角，所对的边分别为，若，则_，边长的取值范围是_.【答案】 (1). 4 (2). 【解析】【分析】利用可得，结合正弦定理可得，结合锐角三角形和可得范围.【详解】因为，所以，由正弦定理得，所以；因为是锐角三角形，所以，,所以，所以.【点睛】本题主要考查正弦定理求解三角形及边长的范围，解三角形常用策略是边角互化，侧重考查数学运算的核心素养.15.法国数学家拉格朗日于1778年在其著作解析函数论中给出一个定理：如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”.函数在区间上的“拉格朗日中值”_.【答案】【解析】【分析】结合“拉格朗日中值”定义，先求导数，代入定义可得t的值.【详解】因为，所以，结合“拉格朗日中值”定义可得，所以.【点睛】本题主要考查信息创新题目，对新定义的准确理解是求解关键，侧重考查数学抽象的核心素养.16.设直线：与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，若线段的中垂线经过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率是_.【答案】【解析】【分析】先求出mn的中点，结合线段的中垂线经过双曲线的右焦点，建立之间的关系式，从而可得离心率.【详解】设，联立得，所以mn中点为，因为线段的中垂线经过双曲线的右焦点，所以，解得，所以，即离心率.【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求解，一般是构建之间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.17.已知，则最小值为_.【答案】【解析】【分析】把整理为完全平方式，利用三角换元法可求.【详解】因为，所以令，解得，所以.因为，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查多元变量最值问题，主要处理策略是消元减参，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知函数，其中.（）求函数的最小正周期；（）求的最大值，以及取得最大值时的取值集合.【答案】（）（）；【解析】【分析】（）先化简函数为标准型，代入公式可得周期；（）根据函数解析式的特点求解最大值，及对应自变量的取值.【详解】解：（），的最小正周期.（）由（）得，因为，所以，当且仅当时取到最大值，即.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，一般是利用恒等变换公式化为标准型，然后求解，侧重考查数学建模的核心素养.19.如图，四棱锥中，平面，为中点.（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）见证明；（）【解析】【分析】（）在平面内，找到与平行的线，从而可证；（）作垂线，找在平面的射影，找到线面角，求解直角三角形可得.【详解】（）证明：取中点，连接，如图，则由中位线可知，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面.（）平面，故.在直角梯形中，.，.平面.过点作，垂足为，则，平面，则即为直线与平面所成的角，如图，易求：，又点为的中点，.由面积法得：.所以.在中，.【点睛】本题主要考查线面平行的证明和线面角的求解，线面角一般是利用定义法或者向量法求解，侧重考查直观想象，逻辑推理和数学运算的核心素养.20.已知数列为等差数列，且满足，数列的前项和为，且，.（）求数列，的通项公式；（）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）数列的通项公式，利用，可求公差，然后可求；的通项公式可以利用退位相减法求解；（）求出代入，利用分离参数法可求实数的取值范围.【详解】解：（），即，又，也成立，是以1为首项，3为公比的等比数列，.（），对恒成立，即对恒成立，令，当时，当时，故，即的取值范围为.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和参数范围的确定，熟练掌握公式是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.21.设椭圆：的左、右焦点分别为，.（）求椭圆的标准方程；（）过点的直线与椭圆相交于，两点，求内切圆面积的最大值.【答案】（）（）【解析】【分析】（）根据焦点坐标可得，结合可求方程；（）内切圆面积的最大时，的面积最大，结合的面积目标式，求出最大值即可.【详解】解：（）由已知椭圆的左、右焦点分别为，由，椭圆的标准方程为：.（）令：，设，由，即，则，设的内切圆半径为，又，即：，令，则，得：，令，知在上是单调递增函数，内切圆面积.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解和最值问题，最值问题一般是把目标式求出，结合目标式特点选用合适的方法求解，侧重考查数学运算的核心素养.22.已知函数，若函数（，为常数）在内有两个极值点.（）求函数的导函数；（）求实数的取值范围；（）求证：.【答案】（）（）（）见证明【解析】【分析】（）