河北省沧州市2020届高三数学下学期模拟考试试题 理（含解析）

河北省沧州市2020届高三数学下学期模拟考试试题 理（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由补集的定义可得，求解指数不等式可得，据此进行集合的混合运算即可.【详解】由补集的定义可得，求解指数不等式可得，据此可得.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的混合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由复数模的运算法则可知，据此确定复数的模即可.【详解】由复数模的运算法则可得：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查复数的模的运算法则及其应用，属于基础题.3.随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智能手机不断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机，对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，“低头族”由此而来.为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包括老、中、青三个年龄段的人中采取分层抽样的方法抽取人进行调查，已知这人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里老年人人数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知老年人所占的比例为，据此求解老年人的人数即可.【详解】由题意结合分层抽样的定义可知，这个群体里老年人人数为.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查统计图表的识别与应用，属于基础题.4.已知直线和平面，则是与异面的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意，若直线b不在平面内，则b与相交或，充分性不成立，反之，若与异面，一定有直线b不在平面内，据此即可得到正确的结论.【详解】由题意，若直线b不在平面内，则b与相交或，不一定有与异面，反之，若与异面，一定有直线b不在平面内，即是与异面的必要不充分条件.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查线面关系有关命题及其应用，充分必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.若变量满足则使取得最小值的最优解为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先绘制不等式组表示的平面区域如图所示，然后结合目标函数的几何意义确定使取得最小值的最优解即可【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：.本题选择C选项.【点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.6.在中，为的重心.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定的值，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：,，.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知函数，且满足，把的图像上各点向左平移个单位长度得到函数，则的一条对称轴为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得函数的最小正周期为，结合最小正周期公式可得，据此可得函数的解析式为，结合正弦函数的性质和所给的选项确定函数的一条对称轴即可.【详解】由可得，则函数的最小正周期为，即，故函数的解析式为，函数的解析式为，函数的对称轴满足：，即，令，只有方程存在整数解，故函数的一条对称轴为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的对称轴的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.已知函数，且满足，则的取值范围为（ ）A. 或B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数的解析式易知函数为偶函数，且函数在区间上单调递减，据此脱去f符号求解不等式的解集即可.【详解】由函数的解析式易知函数为偶函数，且当时，故函数在区间上单调递减，结合函数为偶函数可知不等式即，结合偶函数的单调性可得不等式，求解绝对值不等式可得的取值范围为.本题选择B选项.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)9.为双曲线的左焦点，圆与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】不妨设，其中，由斜率公式可得，由直线垂直的充分必要条件可知：，据此可得，然后结合双曲线的离心率公式求解离心率即可.【详解】不妨设，其中，由于，故，由于双曲线的渐近线方程为，结合直线垂直的充分必要条件可知：，据此可得：，整理可得，据此可知：，双曲线的离心率.本题选择C选项.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)10.中国最早的天文学和数学著作周髀算经里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，.设内一衡直径为，衡间距为，则次二衡直径为，次三衡直径为，执行如下程序框图，则输出的中最大的一个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，结合等差数列的通项公式可得，由均值不等式的结论即可确定输出的中最大的一个数.【详解】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，由等差数列通项公式有：，且易知恒成立，则：，当且仅当，即时等号成立.综上可得，输出的中最大的一个数为.本题选择D选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证11.在锐角三角形中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由同角三角函数基本关系可得，结合两角和差正余弦公式可知 ，利用余弦定理可得，最后利用平面向量数量积的定义求解数量积即可.【详解】由同角三角函数基本关系可得，则 ，由余弦定理可得,则，结合平面向量数量积的定义可得：.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用12.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图可知，其对应的几何体为三棱锥，建立空间直角坐标系，结合球的几何性质确定球心坐标，然后求解球的表面积即可.【详解】如图所示，在长方体中，点分别为其所在棱的中点，则三视图对应的几何体为三棱锥，很明显是以为斜边的直角三角形，且当平面，故外接球的球心O在直线上，以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，由有：，解得：,设外接球半径为，则：，外接球的表面积.本题选择C选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.二、填空题.13.体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为，若该同学本次测试合格的概率为，则_【答案】【解析】【分析】由题意可得：，据此求解关于实数p的方程确定实数p的值即可.【详解】由题意可得：，整理可得：，即,该方程存在唯一的实数根.故答案为： 0.4【点睛】本题主要考查独立事件概率公式及其应用，属于基础题.14.在的展开式中的系数为_【答案】【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式可知的展开式的通项为：，据此确定展开式中的系数即可.【详解】由二项式展开式的通项公式可知的展开式的通项为：，令可得，故展开式中的系数为.故答案为： 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项15.点为抛物线的焦点，为其准线上一点，且.若过焦点且与垂直的直线交抛物线于两点，且，则_【答案】【解析】【分析】由焦半径公式可得：，则，据此可得AB的方程为：，EF的方程为，结合题意由EF的长度得到关于p的方程，解方程即可求得实数p的值.【详解】由题意结合焦半径公式可得：，据此整理可得：，据此可知直线AB的方程为：，直线EF的方程为，令可得，则EF的长度为：，解得：.故答案为：1.【点睛】本题主要考查抛物线的焦半径公式，方程思想的应用，直线方程及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.已知函数 满足：当时，方程无解；当时，至少存在一个整数使.则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】首先绘制函数f(x)的图像，然后结合题意分类讨论和两种情况分别得到关于a的取值范围，最后求解所得取值范围的公共部分即可确定实数的取值范围.【详解】绘制函数的图像如图所示，函数恒过点，（1）当时，方程无解，考查临界情况，当时，设切点坐标为，切线斜率为，故切线方程为，切线过点，则：，解得：，故切线的斜率，据此可得，（2）当x0时时，点两点连线的斜率，时，点两点连线的斜率，据此可得，综上可得，实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，导函数研究函数的切线方程，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得数列是等比数列，且公比为.结合成等差数列求得数列的首项即可确定数列的通项公式；（2）裂项求和可得，结合前n项和表达式的单调性确定的取值范围即可.【详解】（1）由知数列是等比数列，且公比为.成等差数列， （2） 易知单调递减，当时，的取值范围为【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，列项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.如图，在三棱台中，底面是边长为的等边三角形，上、下底面的面积之比为，侧面底面，并且.（1）平面平面，证明：；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，结合几何关系可证得平面，据此可得题中的结论；（2）以为原点建立空间直角坐标系.由题意求得平面的法向量为，平面的法向量为，据此求解平面与平面所成二面角的正弦值即可.【详解】（1）几何体为棱台，平面平面平面，平面平面（2），则面积之比为相似比的平方，而过点作交于，由于侧面底面为交线，底面.在中，易求得为线段的四等分点，取的中点，则有，以为原点建立空间直角坐标系. 设平面的法向量为可得设平面的法向量为故平面与平面所成二面角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间向量及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了天.得到的统计数据如下表，为收费标准（单位：元/日），为入住天数（单位：），以频率作为各自的“入住率”，收费标准与“入住率”的散点图如图x50100150200300400t906545302020（1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过的农家乐的个数，求的概率分布列；（2）令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程.（结果保留一位小数）（3）若一年按天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额最大？（年销售额入住率收费标准）参考数据： 【答案】（1）见解析；（2）见解析，（3）收费标准约为元/日时，最大值约为元【解析】【分析】（1）由题意可知的所有可能取值为.分别计算相应的概率值确定分布列即可；（2）由散点图可知更适合于此模型.分别确定，的值即可确定回归方程；（3）由题意可得 利用导函数研究年销售额的最大值即可.【详解】（1）的所有可能取值为.则 ， 的分布列（2）由散点图可知更适合于此模型.其中，所求的回归方程为（3） 令若一年按天计算，当收费标准约为元/日时，年销售额最大，最大值约为元.【点睛】本题主要考查分布列的计算，非线性回归方程及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.如图，菱形的面积为，斜率为的直线交轴于点，且，以线段为长轴，为短轴的椭圆与直线相交于两点（与在轴同侧）.（1）求椭圆的方程；（2）求证：与的交点在定直线上.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组可得，据此确定椭圆方程即可；（2）易得，设直线与椭圆联立可得，求得直线的方程和的方程，联立方程确定交点坐标即可证得题中的结论.【详解】（1）设 解得椭圆方程为（2）易得，设直线与椭圆联立，得由得，设，直线的方程为 直线的方程为x 联立消去，得从而命题得证【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21.已知函数.（1）讨论在上的单调性；（2）令，当时，证明：对，使.【答案】（1）见解析；（2）见证明【解析】【分析】（1）由题意可得，分类讨论时，和三种情况确定函数的单调性即可；（2）此时原题目等价于.由函数f(x)的解析式可得,结合函数g(x)的性质证明即可证得题中的结论.【详解】（1）当时，由于，所以恒成立，在为增函数；当时，若恒成立，在上为减函数；若，令，得在上为增函数，上为减函数.综上：当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数；当时，在上为减函数.（2）此时原题目等价于.当时，由（1）知在上为增函数，在上为减函数，,令 .令，得，在上恒成立，在上单调递增，即在上单调递增.当时， ，由于存在，使，即， 在单调递减，在单调递增， ，令 恒成立，在上为减函数，从而命题得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性