陕西省西安交通大学附中上学期2020届高三数学第四次诊断试题 文（含解析）

陕西省西安交通大学附中上学期2020届高三数学第四次诊断试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.复数的虚部是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】试题分析：，虚部为-1.考点：复数的概念和运算.2.双曲线的离心率是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】已知双曲线方程，找出方程中，代入离心率的公式即可.【详解】因为双曲线，所以，因为，所以离心率.故选：c.【点睛】本题主要考查了双曲线方程的离心率，属于基础题.3.=（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】试题分析：考点：全诱导公式应用及特殊角的三角函数值4.下列说法不正确的是（ ）a. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”b. 为假命题，则均为假命题c. 若“”是“”的充分不必要条件d. 若命题：“，使得”，则“，均有”【答案】b【解析】【分析】根据逆否命题的定义、含逻辑连接词命题的真假性、充分条件与必要条件的判定、含量词的命题的否定依次判断各个选项即可.【详解】根据逆否命题的定义可知：“若，则”的逆否命题为：“若，则”，正确；为假命题，则只要，不全为真即可，错误；由可得：，充分条件成立；由可得：或，必要条件不成立；则“”是“”的充分不必要条件，正确；根据含量词命题的否定可知，使得的否定为：，均有，正确.本题正确选项：【点睛】本题考查命题真假性的判定，涉及到逆否命题的定义、含逻辑连接词的命题、充分条件与必要条件、含量词命题的否定的知识.5.已知角的终边经过点且，则等于（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】试题分析：依题意有考点：三角函数概念6.全集，则图中阴影部分表示（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据题中韦恩图知，阴影部分面积为，求出集合，的范围，然后根据运算律求解即可.【详解】由题知阴影部分面积为，所以，故.故选：a.【点睛】本题主要考查了集合的运算，属于基础题.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】分析：首先根据所给的三视图，可以判断外层的轮廓是由一个正方体切割而成的，再者就是里边有一个空洞，是一个球体的八分之一，所以在求其体积时，就等于棱锥的体积减去部分球体的体积，从图中得到相应的线段的长度，代入公式求得结果.详解：根据题中所给的几何体的三视图，可以断定该几何体为一个四棱锥里边挖去了八分之一的球体，并且该四棱锥就是由一个正方体切割而成的，根据体积公式求得四棱锥的体积为，而挖去八分之一球体的体积为，所以该几何体的体积为，故选a.点睛：该题考查的是有关三视图还原几何体求其体积的问题，在求解的过程中，最关键的一步就是还原几何体，从图中可以发现其为一个棱锥挖去一个部分球体的几何体，一是需要明确棱锥的顶点的特征，二是挖去的是球体的几分之几，之后借助于公式，从图中读出边长求得结果.8.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）a. 5b. 6c. 7d. 8【答案】a【解析】试题分析：第一次循环运算：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：，这时符合条件输出，故选a.考点：算法初步.9.一个正方体的展开图如图所示，a、b、c、d为原正方体的顶点，则在原来的正方体中a. b. 与相交c. d. 与所成的角为【答案】d【解析】【分析】还原成正方体，可推导出在原来的正方体中与所成的角为【详解】解：一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，还原成正方体如下图，是与所成角，在原来的正方体中与所成的角为故选【点睛】本题考查了学生的空间想象力及作图能力、异面直线所成角的求法，属于基础题10.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】b【解析】【分析】根据题中提示规律，找出的原式方程求解即可.【详解】由题知的值可以通过方程求出，因为，所以.故选：b.【点睛】本题主要考查了运算法则的类比推理，属于基础题.11.等差数列的前项和为，则最大时为（ ）a. 1b. 5c. 6d. 7【答案】c【解析】【分析】根据等差数列，求出公差与首项，然后求出代入方程求解最大时的取值.【详解】因为等差数列，有，解得，因为，所以公差，所以，故，易知当时取最大值.故选：c.【点睛】本题主要考查了等差数列取最值，属于基础题.12.已知函数，若方程有4个实根，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】首先把求根的问题转化为函数图像的交点问题，然后求解的取值范围即可.【详解】设，即方程有个实根，绘制出的图像如下图，即的图像与相交于个点，有，即，解得.故选：c.【点睛】本题考查了函数图像交点与函数根的关系，属于基础题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知等比数列，则等于_【答案】189【解析】【分析】直接利用等比数列的通项公式求公比的平方,再求即可.【详解】解：在等比数列中由,得所以故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,是基础题.14.已知，若直线与直线垂直，则的最小值为_【答案】8【解析】【分析】两直线斜率存在且互相垂直，由斜率乘积为-1求得等式，把目标式子化成，运用基本不等式求得最小值.【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为，两条直线垂直，整理得：，等号成立当且仅当，的最小值为.【点睛】利用“1”的代换，转化成可用基本不等式求最值，考查转化与化归的思想.15.某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为_【答案】6【解析】n为18+12+6=36的正约数，因为18：12：6=3：2：1，所以n为6的倍数，因此 因为当样本容量为时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，所以n+1为35的正约数，因此16.已知正三角形的边长为，点是所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】以a点为原点,建立如图所示平面直角坐标系,不妨设 ,根据向量的坐标运算和向量的模可得 ,再根据三角函数的性质即可求出范围.【详解】解：以点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则 , ,不妨设, , ,的取值范围为：.故答案为：【点睛】本意考查向量的坐标运算和向量的模的取值范围,是中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分）17. 如图，在四棱锥p-abcd中，pa平面abcd，底面abcd是等腰梯形，adbc，acbd.（）证明：bdpc；（）若ad=4，bc=2，直线pd与平面pac所成的角为30，求四棱锥p-abcd的体积.【答案】（）见解析 （）12【解析】（）因为又是平面pac内的两条相较直线，所以bd平面pac，而平面pac，所以.（）设ac和bd相交于点o，连接po，由（）知，bd平面pac，所以是直线pd和平面pac所成的角，从而.由bd平面pac，平面pac，知.在中，由，得pd=2od.因为四边形abcd为等腰梯形，所以均为等腰直角三角形，从而梯形abcd的高为于是梯形abcd面积在等腰三角形中，所以故四棱锥的体积为.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明bd平面pac即可，第二问由（）知，bd平面pac，所以是直线pd和平面pac所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积18.三角形的三个内角a、b、c所对边的长分别为、，设向量，若/（1）求角b的大小；（2）求的取值范围【答案】（1）；（2） 【解析】【详解】（1）由/知，即得，据余弦定理知，得（2） 因为，所以，得所以，得，即得取值范围为点睛：本题关键是首先要得出向量平行的等式，再结合余弦定理即可得出b，对于三角函数范围问题则通常需要将原式化简为的形式再求解答案（需注意范围的变化），此题属于基础题.19.某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组，第二组，第五组.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求价格落在内的地区数；（2）借助频率分布直方图，估计该商品价格的中位数（精确到0.1）；（3）现从，这两组的全部样本数据中，随机选取两个地区的零售价格，记为，求事件“”的概率.【答案】（1）16；（2）15.7元；（3）.【解析】【分析】（1）根据总面积为求出价格落在内的地区数；（2）根据中位数两边的面积都是求出中位数；（3）根据古典概型求解即可，首先求出基本事件总数，再求出事件“”的事件数即可求出答案.【详解】（1）价格在内的频率为：，所以价格在内的地区数为；（2）设价格中位数为，由，解得（元）；（3）由直方图知，价格在的地区数为，设为，价格在的地区数为，设为，若时，有，3种情况，若时，有，6种情况，若，分别在和内时，共有12种情况，所以基本事件总数为21种，事件“”所包含的基本事件个数有12种，故.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质，中位数，古典概型的计算，属于一般题.20.已知函数.（1）当时，求在的最值；（2）讨论函数的单调性；【答案】（1）最小值3，最大值；（2）见解析【解析】【分析】（1）首先求出函数的单调性，再根据函数的定义域，求区间内的最值即可；（2）首先对函数求导，再对分类讨论，分析导函数的正负，从而讨论出函数的单调性.【详解】（1）当时，所以在上单调递减，在上单调递增.，所以当时，在的最小值3，最大值；（2），当时，所以在单调递增，在单调递减，当时，或，在上单调递减，在单调递增，当时，若时，在上单调递增，在和上单调递减，若时，在上单调递减，若时，在上单调递增，在和上单调递减.【点睛】本题主要考查了利用导数分析求解函数的单调区间，属于中档题.21.已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明：为定值；（3）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）由题设条件求出椭圆的右焦点与上顶点坐标，即可得出、的值，再求出的值即可求得椭圆的方程；（2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得出与，再根据及，从而可表示出，化简即可得证；（3）当时，易得与相交于点，可猜想：变化时，与相交于点，再证明猜想成立即可.试题解析：（1）过椭圆的右焦点，右焦点，即，又的焦点为椭圆的上顶点，即，椭圆的方程；（2）由得，设，则，综上所述，当变化时，的值为定值；（3）当时，直线轴，则为矩形，易知与是相交于点，猜想与相交于点，证明如下：，即三点共线.同理可得三点共线，则猜想成立，即当变化时，与相交于定点.点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题；（2）求定值问题常见的方法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，.（1）求的参数方程；（2）设点在半圆上，半圆在处的切线与直线：垂直，求直线的倾斜角及点的直角坐标.【答案】（1）（为参数，)；（2），.【解析】【分析】（1）首先根据的极坐标方程求出的普通方程，然后即可求出的参数方程；（2）根据几何关系求出直线倾斜角，然后利用参数方程求出点的直角坐标.【详解】（1）由半圆的极坐标方程为，即，可得的普通方程为，可得的参数方程为（为参数，)；（2）由（1）知是以为圆心，1为半径上半圆，设点，直线的斜率与直线的斜率相等，故的直角坐标为，即.【点睛】本题主要考查了圆的极坐标方程，圆的参数方程，参数方程的几何意义，属于一般题.23.已知函数f（x）=|2xa|，g（x）=x+1（1）若a=1，求不等式f（x）1的解集；（2）对任意的xr，f（x）+|g（x）|a2+2a（a0）恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）x|0x1（2）a2【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义得12x11，即