黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题 理（含解析）

黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分, 共60分）1.设，则“”是“”的（）a. 充分而不必要条件b. 必要而不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】a【解析】【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】,又，所以“”是“”的充分不必要条件，选a.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件2.已知命题“设、，若，则”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ）a. 0个b. 1个c. 2个d. 3个【答案】b【解析】【详解】试题分析：由题意得，命题“设、，若，则”为真命题，所以它的逆否命题也为真命题；又由原命题的逆命题为“设、，若，则”为假命题，所以它的否命题也为假命题，所以在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有一个，故选b考点：四种命题的真假的判定3.已知椭圆，则下列结论正确的是（ ）a. 长轴长为b. 焦距为c. 短轴长为d. 离心率为【答案】d【解析】【分析】将椭圆化为标准方程，根据方程可求得a、b、c的值，求椭圆的离心率，进而判断各选项。【详解】由椭圆方程化为标准方程可得 所以 长轴为 ，焦距，短轴，离心率 所以选d【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及a、b、c的含义，椭圆离心率的求法，属于基础题。4.命题“，”的否定是（ ）a. ，b. ，c. ，d. ，【答案】c【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，再否定结论，可选出答案。【详解】命题“，”的否定是，故选c【点睛】本题考查全称命题的否定，注意区分命题的否定与否命题，命题的否定只否结论，否命题条件结论都要否。属于基础题。5.已知椭圆的两个焦点分别为，斜率不为的直线过点，且交椭圆于，两点，则的周长为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】由题意可得，周长.故选点睛：本题考查椭圆的定义；在解决过椭圆或双曲线的两焦点的弦长问题时，往往要利用椭圆或双曲线的定义进行处理，如本题中利用椭圆的定义将求三角形的周长转化为，到椭圆的两个焦点的距离的和.6.方程对应的曲线是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】化简为，即可选出答案。【详解】故表示的为曲线为在第一象限的部分。故选d【点睛】本题考查函数的的图像，正确化简等式是解本题的关键，属于基础题。7.设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，是下列命题正确的是（ ）a. 若，则b. 若，则c. 若，则d. 若，则【答案】d【解析】【分析】根据空间中线线，线面，面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】a选项，若，则可能平行、相交、或异面；故a错；b选项，若，则可能平行或异面；故b错；c选项，若，如果再满足，才会有则与垂直，所以与不一定垂直；故c错；d选项，若，则，又，由面面垂直的判定定理，可得，故d正确.故选d【点睛】本题主要考查空间的线面，面面位置关系，熟记位置关系，以及判定定理即可，属于常考题型.8.若命题：，命题：，.则下列命题中是真命题的是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先判断命题p和q的真假，再判断选项得解.【详解】对于命题p,所以命题p是假命题，所以是真命题；对于命题q, ，,是真命题.所以是真命题.故选：c【点睛】本题主要考查复合命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】设出端点，代入椭圆，两式作差，变形，即可得到直线的斜率，再由点斜式写出直线即可。【详解】设弦两端点为，则-得 即直线为 化简得故选c【点睛】本题考查根据椭圆中弦的中点求弦所在的直线，解决本类题的思路是点差法：设点-作差-变形，根据中点坐标，即可求出所在直线的的斜率，即可写出直线，属于基础题。10.设椭圆：的左，右焦点分别为，以为直径的圆与在第一象限的交点为，则直线的斜率为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由题意知,要求直线的斜率，即求，又，即在中求出，即可得到答案。【详解】因为点为以为直径的圆与在第一象限的交点，所以,设则在中有 解得所以 故选b【点睛】本题考查根据椭圆的定义求直线的斜率。熟练掌握椭圆的定义，解出所需量属于本题的关键，属于中档题。11.如图，已知点在焦点为、的椭圆上运动，则与的边相切，且与边，的延长线相切的圆的圆心的轨迹是（ ）a. 一条直线b. 一个圆c. 一个椭圆d. 一个半圆【答案】a【解析】【分析】设出圆与三角形三边长及其延长线的切点，利用切线定理得到线段的相等关系，最后转化为线段的长度为定值，说明切点为定点a,由此可得结论。【详解】如图所示： 设圆与分别相切于由切线定理得: 因为在椭圆上定值 为定值切点 在过垂直于椭圆所在轴的直线上.【点睛】本题考查了椭圆的轨迹问题，椭圆的第一定义，考查了等价转化思想方法，属于中档题。12.已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若椭圆上存在一点，使四边形是平行四边形（其中点为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据题意写出直线：，再与椭圆联立可得，即可求出，再将点代入椭圆，即可解出答案。【详解】由题意知直线： ，联立与消得 ， ，所以线段的中点为，故点，将代入椭圆得：解得故选a【点睛】本题考查根据椭圆与直线的位置关系求椭圆的离心率，解本题的关键在于利用平行四边形的性质利用 表示出点，属于中档题。二、填空题（每题5分，共20分）13.设椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为.若，则该椭圆的标准方程为_【答案】【解析】【分析】根据题意知，再由即可写出答案。【详解】由知,即， 故椭圆的标准方程为故填【点睛】本题考查椭圆的标准方程，熟练掌握椭圆中各线段的值，是解本题的关键，属于基础题。14.已知命题：，是真命题，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】命题是真命题等价于在，转化为求二次函数在定区间上的最大值，根据二次函数在对称轴两边的单调性即可找到其最大值，即可解出答案。【详解】记，真命题即，恒成立，即又函数，对称轴 所以在 单调递减，在单调递增，根据二次函数的对称性知道故填【点睛】本题综合考查命题、二次函数在定区间上的最值求法、恒成立问题。使用了转化思想，属于基础题。15.过椭圆中心作一直线交椭圆于，两点，是椭圆的一个焦点，则周长的最小值是_【答案】18【解析】【分析】记椭圆的另一个焦点为，则，由，即可求出周长的最小值。【详解】如图所示，记椭圆的另一个焦点为 ，则根据椭圆的对称性知道: ，,设 ，则，又因为，所以，即，。所以的周长为故填18【点睛】本题考查椭圆内焦点三角形的周长的最值问题，熟练掌握椭圆的第一定义是解本题的关键，属于基础题。16.已知，分别为椭圆的左、右焦点，若直线上存在点，使为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是_【答案】【解析】分析】首次按判断出为等腰三角形只可能，再利用直线与轴的交点 、点、点构成的三角形中，即可解出椭圆离心率的范围【详解】为等腰三角形，只可能 即，又因为点在直线上，即又因为椭圆 所以故填【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围，找到直线与轴的交点 、点、点构成的三角形中，是解本题的关键，属于中档题。三、解答题（共70分）17.已知，其中.（1）若，且为真，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）为真时的条件,当且仅当与都为真时才为真；（2）判断充分不必要条件时,如果无法进行正面判断,则可以使用其逆否命题进行判断,然后转化为集合之间的包含关系,得出答案试题解析：解：（1）由，解得，所以又，因为，解得，所以当时，又为真，都为真，所以（2）由是的充分不必要条件，即，其逆否命题为，由（1），所以，即考点：1一元二次不等式2命题及其关系3充分必要条件【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化,进而成为命题所表示的范围间的大小关系,转化为集合的问题另外需注意等号的取舍18.已知焦点在轴上的椭圆经过点，焦距为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点是椭圆上的任意点，求点到直线：距离的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设出椭圆的标准方程，根据条件写出方程组，即可解出，即可得出答案。（2）设出点的参数方程，再利用点到直线的距离公式，化简即可求出。【详解】（1）设椭圆为，则将点代入有： 解得即椭圆为（2）设，则 所以点到直线：距离的最大值为【点睛】本题考查椭圆的标准方程，椭圆上动点到定直线的距离的最大值，熟练掌握椭圆的参数方程与点到直线的距离公式，是解本题的关键。属于基础题。19.点与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数.（1）求动点的轨迹的方程；（2）点在（1）中轨迹上运动轴，为垂足，点满足，求点轨迹方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意用表示出与，再代入，再化简即可得出答案。（2）设，利用表示出点，再将点代入椭圆，化简即可得出答案。【详解】（1）由题意知 ， 所以化简得：（2）设，因为，则将代入椭圆得化简得【点睛】本题考查轨迹方程，一般求某点的轨迹方程，只需要设该点为，利用所给条件建立的关系式，化简即可。属于基础题。20.已知椭圆：的左、右焦点分别为和，离心率，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设、是直线：上的不同两点，若，求的最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意建立关于 的方程组，解出方程组即可得出答案.（2）根据题意设、，利用可得到，再代入，即可解出其最小值。【详解】（1）由题意知 所以椭圆的标准方程为：（2）由（1）知，、的坐标分别为、，设直线：上的不同两点、的坐标分别为、，则、，由得，即，不妨设，则，当、时取等号，所以的最小值是.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，与椭圆有关的线段的最值。解本类题需熟练掌握椭圆中的关系，与离心率的定义，最值的求法：一般式设点，建立等式，再利用函数的性质求其最值，属于中档题。21.：圆心为，：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）直线过与（1）中所求轨迹交于、不同两点，点关于轴对称点为点，直线是否恒过定点，若过定点求出该点坐标，否则，说明理由.【答案】（1）；（2）定点【解析】【分析】（1）设出圆心，根据题意写出等式，化简即可得出答案。（2）设直线为，联立直线可得到，代入直线:，根据 ，化简即可得出答案。【详解】（1）设，圆的半径为 ,由题意有 , 消 得到：，化简得（2）当直线斜率存在时，设直线为： ， 令 联立椭圆，得 ，则 ， 所以直线为: ,又 ， 代入化简得，直线恒过定点。当直线斜率不存在时，直线为：，则，点重合。综上所述直线恒过定点。【点睛】本题考查轨迹方程，椭圆中直线过定点，一般圆锥曲线中关于直线过定点，都需要设出参数，利用参数表示出直线，再根据直线的性质说明直线过定点。属于难题。22.已知椭圆的右焦点为,点为椭圆上的动点，若的最大值和最小值分别为和.(i)求椭圆的方程()设不过原点的直线与椭圆 交于两点,若直线的斜率依次成等比数列,求面积的最大值【答案】(1) .(2)1.【解析】分析：第一问根据椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是和，结合已知条件，建立关于的方程组，从而求得的值，借助于椭圆中之间的关系，求得的值，从而求得椭圆的方程；第二问设出直线的方程，将其与椭圆联立，写出两根和与两根积，根据条件，确定出斜率的值，之后将面积转化为关于b的式子，利用二次函数的最值求得结果.详解：（i）由已知得：