多元函数极值求法探讨

2 0 1 0 年第 1 2卷第 6期 总第 1 0 5 期 巢湖学 院学报 J o u m o f Ch a o h u Co l l e g e No 6 ，Vo 1 1 2 2 01 0 Ge ne r a l Se ria l No 1 05 多元函数极值求法探讨 陈惠汝 ( 黄冈师范学院数学与信息科学学院 ， 湖北黄冈 4 3 8 0 0 0 ) 摘要 ： 利用方向导数、 梯度及 内积、 二次型三种方法分别判别 函数极值 ， 通过二元函数求极 值 的方法介 绍 多元 函数极值 的求法 关键词 ： 多元 函数； 极值； 方 向导数； 梯度； 内积； 二次型； 正定矩阵 中图分 类号 ： 01 7 2 1 文献标 识码 ： A 文章 编号 ： 1 6 7 2 2 8 6 8 ( 2 0 1 0 ) 0 6 0 1 1 6 0 3 函数极值不仅是数学分析中的一个重要问题 ， 也是我们解题中的一个难题。函数极值在应用中也 普遍存在 。 在生产和 日常生活中我们总是希望减少消耗、 增加利用率 ， 而这些实际问题都可以归结为函 数极值问题。本文给出了几种求多元函数极值的方法。 1 利用 方 向导 数判 断多元 函数 的极值 定义1 1】设函数 ( ) 在点 。 的某邻域 ( 托) 内有定义， V x ( ) ， 令p = I 。 I ， 若 l i m 尘 )_ 存在 ，称此极限为 函数厂( ) 在点 。 沿方向 z = 的方向导数 ， 记作厂( 。 ) o P 引理 I t 】 设二元函数f( ， ) ， ) 在点 p 。 ( ， y 0 ) 的某邻域 ty ( p 0 ) 内连续 ， 在 ( p 0 ) 内可微， V p ( x ， y ) ( P 0 ) ， 用 z 表示 方 向 (i) 若 ( p ) 0 ， 则厂 ( p) 在点 p 。 取得极大值； ( i i ) 若 ( p ) 0 ， 则 ) 在点P 。 取得极大值 ； ( i i ) 若 ( p ) 0 由推论知 = 厂 ( ， Y ，z ) 。 竹 2+ + 一 在点( 一 1 ， - 2 ， 3 ) 处取得极小值。 u I P 。 = 一 1 ， 一 2 ， 3 ) = ( 一 1 ) 2 + ( - 2 ) 2 + 3 + 2 ( - 1 ) + 4 ( - 2 ) - 6 x 3 = 1 4 2利用梯度及内积计算多元 函数的极值 定义 2 圆 若 一， ) 在 p 。 。 一， ) 点存在对所有 自变量 的偏 导数 ， 则称向量 ( P 。 ) ， ， ) 】 为函数f ( x - - ， ) 在p o ( x 。 一 ， ) 的梯度， 记作g r a d f= ( p o ) ， ， ( P o ) ) 引理 设 ) 在点 X O 连续 ， 在 ( 。 ， 6 ) 内可微 ， (i) 若 ( ， 6 ) ， 有( 。 ( ) 0 ， 则 ) 在 点取得极小值。 对于有些多元函数我们也可以利用梯度及内积的方法求极值 。由上述引理可推广到多元 函数的情 况， 文 2 4 都进行 了讨论有如下定理。 定理 2 设多元函数f ( x 一 ， ) 在p 。 。 。 9 o o ， x o ) 点连续 ， 在 ( P o ) 内可微 ， (i) 若 V p( x 一， ) ( P 。 ) ， 有 ( 。 。 ， 一 0 2 ， ， ) g r a d f O ， 则 一， ) 在 P o 点取得极小 值 。 由于极值 只可能在稳定点或偏导数至少有一个不存在 的点处取得 ， 因此 ， 定理 2可对这样 的两类 点使用 。 例 2 求 f ( x ， ) ， ， z ) 2 - 3 + 的极值 解令 = 2 x 一 3 y + 2 = 0 ， = 2 y 一 3 x = O ， = 2 z = O ， 解 出 = ， )， = ， = 0 对 ( 戈 ，Y ，z )点 有 ( x - ， ,z )o -o a f = ) ( 一 3 y + 2 ) + ) (Z y - 3 2 g 2 m ) 2 ) 一 3 (y - ) 】+ ( 争) 【2 ) _ 3 ( 一 ) 】+ 2 z = 2 ) + 2 ) 2 + 2 z 2 0 所 以 T 4 ， T 6 ，z = - O 时 ， f (x ,y ，z ) 2- 3 + 2 x 达 到 最 小 值 3利 用二 次 型求 多元 函数 的极 值 定义 3 阿 设函数 Y= 一， ) 在 粕= ( 。 一， x o ) 点有连续的二阶偏导数 ， 称矩阵 l 厂 I 。) = 1 ” l I 厂 l 为函数 ) ， = 一， ) 在 。 点 的海色矩阵。 引理 3 设 函数 ， ， = ， ： ， ， ) 在点 P 。 的某个邻域内有连续 的一阶及二 阶偏导数 ， 并且 g r a d f ( p o ) = O ， 则 1 1 7 ( i) 若矩阵 ( p 。 ) 是正定矩阵 ， 则 ， 乞 = 。 ， ： ， ， ) 在 P 。 处取得极小值 ； ( i i ) 若矩阵 ( p 。 ) 是负定矩阵 ， 则 y = 。 ， ， ， ) 在 p 。 处取得极大值 ； ( i i i ) 若矩阵 日 ， ( p 。 ) 是不定矩阵 ， 则 y = 。 ， ， ， ) 在 p 。 处不取极值。 定理 3 设 n 元函数 Y 一， x o ) 在 X 0 = 。 一 ， x o ) 的某个邻域内有连续的二阶偏导数， 且 g r a d f ( x 0 ) = 0 则 ( i) 若 ( X o ) 是正定矩阵时 ， 则 为 ) 的极小值点 ； ( i i ) 若 H ， ( x o ) 是负定矩阵时 ， 则 。 为 ) 的极大值点 ； ( i i i ) 若矩阵 ( p 。 ) 是不定矩阵时 ， 则 ) 在 。 处不取极值。 例 3 求函数 f ( x ， Y ) =x 3 + y 3 + 3 x 2 y - 3 产 9 ， 的极值 解厂 在 尺 二阶连续且可微 ， 先求稳定点。 令 ，y ) = 3 x + 6 x y = 0 ， ，y ) = 3 y 3 x 6 9 = 0 求得稳 定点为( 0 ， 3 ) ， ( 0 ， - 1 ) ， ( ， 一 ) 和( - 2 ， 1 ) J J 二阶偏导数为厶 =6 x + 6 y ， 厶 =6 x ， 厶 =6 y - 6 在点( 0 ， 3 ) ， 为正定矩阵， 所以厂 在( 0 ， 3 ) 处有极小值 0 ， 3 ) =一 2 7 在点 ( 0 ， 一 1 ) ， 为负定矩阵， 所以厂 在( 0 ， 一 1 ) 处有极大值f ( 0 ， 一 1 ) = 5 在点( ， 一 ) 和( 一 2 ， 1 ) 处， 为不定矩阵， 所以它们都不是极值点。 J J 若 函数f( ， ) 在有界 闭域 D连续且可微 ， 则 f( 一 ， x o ) 在 D上必 达到最大值或 最小值 。 设 ( P o ) = ( 或 m) ， 若P 。 是 D的内点 ， 则 P 。 是f( 一， X n ) 的极值点 ， 但可能发生P 。 O D 因此 ， 为了找出 f ( x 一 ， ) 在 D的最大最小值 ， 必须找出厂 一 ， 在 D的极值点 ， 再与边界 a D 的函数值比较 ， 才能找 出函数在 D上的最大最小值 ； 而实际问题的最大最小值 ， 可根据问题 的实际意义来判断 。 参考文献 ： 1 余 兴民 利用方向导数判 别函数极值 J 商洛师范专科学校学报 ， 2 0 0 2 ， 1 6 ( 4 ) ： 2 0 2 1 2 】 赵 亚明， 杨玉敏 多元函数极值的一种新方 法 J 】 鞍 山师范学院 学报 ， 2 0 0 3 ， 5 ( 4 ) ： 7 - 9 3 】 蔡 生 多元函数极值的一个判别法 J 辽 宁教育学院学报 ， 1 9 9 7 ， 1 4 ( 5 ) ： 儿一 l 3 4 1 赵俊 多元函数极值的判别方法探讨f J 现代 商贸工业， 2 0 0 9 ， 1 3 ： 1 9 4 1 9 5 【 5 】凌征球 二次型在求 多元函数极值上的应用 J 广西民族学院学报 ( 自然科 学版) ， 2 0 0 2 ， 8 ( 2 ) 【 6 】 程 国 ， 刘亚亚 求 多元函数极值的二 次型方 法 J 】 河西学院学报 ， 2 0 0 8 ， 2 4 ( 5 ) ： 2 0 2 3 THE DI S CRD加 ANCES AND APP LI CATI ONS oF THE AND D F T E L Y S E QU E NC E oF NUM B E R CHEN Hu i -r u ( C o l l e g e o f ma t h e ma t i c s a n d i n f o r ma ti o n s c i e n c e ， H u a n g g a n g N o r ma l U n i v e r s i t y ， H u a n g g a n g Hu b e i 4 3 8 0 0 0 ) Ab s t r a c t ： nl i s t e x t ma k e s u s e o f a d i r e c t i o n t o l e a d a n u mb e r , s t e p s d e g r e e a n d i n s i d e a c c u mu l a t e t wo t y p e s the s e t h r e e k i n d s o f m e tho d d i s t i n g u i s h e s a f u n c t i o n p o l e v a l u e r e s p e c t i v e l y ，the m e t h o d w h i c h b e g s a p o l e a v al u e t h r o u g I l a 2 d o l l a r s fun c t i o n i n t r o d u c e s d i v e r s e fun c t i o n t o b e w o r t h v e v y mu c h o f b e g a me tho d Ke y w o r d s ：