复数的几何意义

复数的几何意义一、复数的几何意义1.复数的几何表示：与复平面上的点有一一对应关系，即任何复数都可以用复平面上的点来表示。2.复数的向量表示：直角坐标系中点和起点的向量是一一对应的。因此，复数也与向量一一对应，其中复数0对应于零向量。任何复数都可以表示为从复平面的起点开始的向量。我们称这种表示为复数的矢量表示。z()复z=一个复平面中的点Z(a，b)平面向量OZ3.复数模的几何意义复平面上复数z=a bi的对应点Z(a，b)到原点的距离。也就是说，|Z |=|a bi |=4.复数加减的几何意义加法的几何意义和减法的几何意义yZ1Z2xoZ1Z2Zxo当z1z20时，对应于z1z2的向量是以o z1和o z2为相邻边的平行四边形OZ1ZZ2的对角线OZ，对应于z2-z1的向量是z1 z25.复数乘法和除法的几何意义Z1=R1(cos1 is in0 1)z2=R2(cos2 is in0 2)乘法：Z=Z1Z 2=R1R 2COS(12)Isin(12)如图所示，相应的矢量是显然，对应于乘积的发散角是1 21如果2 0从逆时针旋转2角度模式变为r2倍，则获得的矢量是积Z1Z2=Z的矢量2如果2 0从矢量的顺时针旋转角度模式变为r1r2，则获得的矢量是积Z1Z2=Z的矢量因此，如果我们知道复数z1的角度是，复数z2的角度是，我们可以发现复数z1z2=za z的角度是 ，这可以把求“角”的问题转化为求复数的乘积的运算。(2)除法(其中z20)除法主要是“减法”，用于发散角(被除数的发散角除数的发散角)和根据向量旋转的相同乘法，简述如下：1 .2 .二。综合应用示例1例2:由满足3|z|5(zC)的复数z所对应的点在复平面上会形成什么样的图？解：让z=x yi(x，yR)图：位于以原点为中心的半径为3到5的圆内。例3。如果Zc，|Z-2|1，求| z |的最大、最小和argZ范围。解决方案：方法一，数字和形式的结合从|Z-2|1可知，在复平面上，Z的轨迹是一个以(2，0)为中心，1为半径的圆曲面(包括圆周)，并且|Z|表示圆曲面上任意点到原点的距离。显然，1|Z|3，|Z|max=3，|Z|min=1，假设圆的两条切线是OA，OB，a，b作为切点，已知为|CA|=1，|OC|=2AOC=BOC=,argZ0,2)方法2 :使用代数形式来求解|Z|的最大值和最小值，假设Z=x yi(x，yR)然后(x-2)2 y21从|Z-2|1， |Z|=，(x-2)2 y21，(x-2)21，-1x-21，1x3，1|z|3.14x-39例4。复数Z满足arg(Z 3)=，并且找到了|z 6| |z-3i|的最小值。分析：从两个复杂模块的总和中获取最小值，并将其与从一个点到两个固定点的距离总和的最小值相关联。把它转化成几何问题来解决应该是相对简单方便的。解1 :从参数(Z 3)=，我们知道Z 3的轨迹是一条射线OA，xoa=，并且| Z6 | | Z-3i |=|(z3)-(3)| |(Z3)-(3i)|当B(-3，0)与C(3，3)相连时，BC连接线与OA的交点为D，Z 3为D点，表示复数。|Z 6| |Z-3i|=|BD| |DC|=|BC|=3，要求最小值=3。方法2 :从参数(Z 3)=，知道Z 3的轨迹是射线OA，那么Z轨迹应该是平行于OA并通过点(-3，0)的射线BM， |Z 6| |Z-3i|表示从点P(-6，0)到射线BM上的点Q(0，3)的距离之和，在点n连接PQ和射线BM，取e作为n点表示复数。|Z 6| |Z-3i|=|PN| |NQ|=|PQ|=3，要求的最小值=3。例5。如果和分别表示复数Z1=12i和z2=7i，则找到Z2OZ1并判断OZ1Z2的形状。解：需要Z2OZ1，这可以计算=z2oz1=and=，根据余弦定理，设| oz1 |=k，| oz2 |=2k(k0)| z1z 2 | 2=k2(2k)2-2 kcos=3k 2例6。已知直线L穿过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在X轴的正半轴上。如果点A(-1，0)和B(0，8)关于L的对称点都在C上，那么直线L和抛物线C的方程就解了。解：如图所示，建立复平面x0y，向量和对应的复数分别为x1 y1i，x2 y2i。根据对称性，|OA|=|OA|=1，|OB|=|OB|=8， x2 y2i=(x1 y1i)8i=-8y1 8x1i如果抛物线方程是y2=2px(p0)，y12=2px1，y22=2px2， x1=，y12=p2，并且|OA|=1， 2p2=1， p=或-(四舍五入)抛物线方程是y2=x，线性方程是：y=x。例7:设M为单位圆周上的移动点x2 y2=1，点N形成具有固定点A(2，0)和点M的等边三角形的顶点，MNAM形成逆时针方向。当m点移动时，找到n点的轨迹。解答：让M，N和A依次对应复数：那么向量AM可以通过将向量a绕点a逆时针旋转300度来获得用复杂的操作实现这种转换是为了但是如此组织也就是说，例8:让复平面上对应于点A.B.C的复数分别为z1，z2，z3。已知|z1|=1，z2=z1z，z3=z2z，其中z=3/2(1 3i)，计算四边形OABC的面积。(SAOBSBOC=153/2)例9:众所周知，z是2，arg (z 2)=/3。(1)找出虚数z(2)在复平面中，对应于复数z3的向量OP按照顺时针方向绕原点o旋转/3，以找到对应于所获得的向量的复数解(1)如图所示，如果对应于虚数z的向量OA和对应于2的点是c，则加法的几何意义可以是OC，OA是相邻边和平行的四条边OABC，那么对应于OB的复数是z 2，cob=/3，| OA |=| BC |=| oc |=2， AOB= obc= BOC=/3COA=2/3z=2(cos2/3 is N2/3)=13i(2)z3=(-13i)3=8(cos 2is N2)因此，从乘法的几何意义来看8(cos 2is N2)cos(-2/3) isin(-2/3)=8(cos5/3 sin5/3)=4-43i例10。|z|=1是已知的，z5 z=1，求z。思路分析:复数的概念和运算具有几何意义。从z5 z=1开始，如果z5、Z和1的对应点是A、B和C，则四边形OACB是平行四边形。解：如果复平面上的Z5、Z和1的对应点分别是A、B和C，那么从z5 z=1可以看出四边形OACB是一个平行四边形。和：|z5|=|z|5=1=|z| OACB是一个边长为1的菱形，AOB=120，容易获得：z=i或z=-I。可以证明，当z=i，z5=i满足这个问题。思考问题：(1)已知非零复数z1、z2分别对应于复平面上的点A、B，并且Z12-3z1z2 z22=0，三角形AOB为()等腰三角形(b)等边三角形(c)直角三角形(2)复平面上Z1点对应的复数为-1 3i，矢量O