小学奥数资料：完全平方数题库教师版

需要购买370份高质量的奥运数据，请联系QQ9710637155-4完整平方数教学目标完全平方数是数论中一个相对精英的小分支，就知识特征而言，属于除数的倍数与素数组合的交集的知识体系。它的题目主要是考查以上两方面的综合知识，是纸杯和初中试卷中的一个热点。知识激励一、完全平方数的一般性质1.主要性质1.一个完整平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.两个连续正整数的平方之间没有完整的平方数。3.完全平方数的除数是奇数，除数为奇数的自然数是完全平方数。4.如果质数p完全除了平方数，那么p可以被完全除。2.一些重要的推论1.任何偶数平方都必须能被4整除；任何奇数的平方除以4(或8)得到余数1。也就是说，4除以2或3的数不能是一个完整的平方数。2.一个完整的正方形除以3的余数是0或1。也就是说，2除以3的数不能是一个完整的平方。3.自然数的最后两个平方只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.当完整平方的位数为奇数(1，5，9)时，十位数必须为偶数。5.当完整平方的位数是偶数(0，4)时，十位数中的数字必须是偶数。6.当一个完整的平方数的位数是6时，它的十位数必须是奇数。7.一个自然数的每个数字都是5，但最后两个数字不是25，这不是一个完美的平方数；末尾只有奇数“0”的自然数不是完整的正方形；1、4、9位数的自然数和10位数的奇数不是完整的平方。3.关键公式回顾：平方方差公式：优秀的例子模块一，完全平方数的基本性质和概念例1(2000年祖冲之杯小学数学竞赛)是正方形的。分析，原始形式。巩固”(中国杯测试)这里有一个公式：这个公式的结果可以是某个数字的平方吗？解析要判断一个数是否是数的平方，必须先观察它的一位数。一个平方数的一位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不能是平方数的一位数。该公式的前两项之和为3，中间两项之和的一位数为0，后两项中的每一项都有因子2和5，并且一位数必须为0。因此，由这个0公式得到的数字的一位数是3，它不能是某个数字的平方。写出360到630之间自然数中带奇数除数的数。分析一个复合数的除数是严格分解素因子后每个素因子的指数(数)加1的乘积。例如，1400是23527经过严格分解的素因子，所以它的因子是(3 1)(2 1)(1 1)=432=24(包括1和自身)如果一个自然数有奇数个除数，那么这个数的所有质因数都是偶数。因此，如果它们在加1后都是奇数，则乘积可能是奇数。所有质因数的个数都是偶数，并且是整平方。也就是说，全平方(除了0)有奇数除数，反之，有奇数除数的数必须是全平方。根据以上分析，在360和630之间我们想要多少个完整的正方形？1818=324，1919=361，2525=625，2626=676，因此360和630之间的总平方数是192，202，212，222，232，242，252。也就是说，在360到630的自然数中有361，400，441，484，529，576，625个奇数除数。合并一个数的完全平方有39个除数。这个数的除数是多少？假设这个数，那么它的平方是，因此。因为，(1)所以，可以得到；因此，这个数字的近似值是。(2)或者，如果有的话，这个数字的近似值是。所以这个数字的近似值是14或20。例3从1到2008年的所有自然数中，有多少乘以72就是完整的平方数？分析对于一个完整的平方数，所有的质因数必须成对出现。然而，满足条件的数必须是完整平方数的2倍。因为，因此，都满足问题的含义，也就是说，满足条件的总数是31。1016和正整数A的乘积是一个完整的平方数，那么A的最小值是_ _ _ _ _ _。首先，1016被分解成质因数：因为它是一个完整的平方数，它至少是，所以a是最小值。众所周知，它是自然数B的平方数，而A的最小值是。为了成为自然数的平方，不同质因数的个数必须是偶数。因为有两个素因子3和7以及三个素因子2，所以2的总平方数至少是2。例4众所周知，自然数n满足：除以n得到一个完整的平方数，那么n的最小值为。解析首先，分解质因数：因为除以得到一个完整的平方数，那么这个完整的平方数是一个除数，那么最大值可以被假设。所以最低限度是。这个题目也可以这样想：由于素因子分解公式中3，7，11的幂除以一个完整的平方数是奇数，最小值是。考虑以下32个数字：请去掉其中一个，这样其他数字的乘积就是一个完整的平方数，并且交叉的数字是。让这32个数字的乘积为a。,因此，只要这个数被划掉，其余数的乘积就可以是一个完整的平方数。此外，既然16也是一个完美的平方数，叉号也满足问题。例5数减100是一个平方数，减63也是一个平方数。这个数字是多少？解析让这个数减去，减去，然后，这个数字是。合并你能找到这样一个数吗，通过加24和减30得到的两个数是完全平方？分析假设可以找到，如果两个完整的正方形分别是，那么两个完整的正方形之间的差异是因为和具有相同的奇偶校验属性，所以它们不是4的倍数就是奇数。它们不能是像54这样的偶数，但不能是4的倍数。因此，它们不能等于两个平方数的差，所以问题中提到的数就找不到了。合并三个自然数，都是完整的平方数。最大数字减去第二大数字的差是80，第二大数字减去最小数字的差是60。找到这三个数字。解析让这三个数分别从大到小，然后有，因为，是同一个奇数和偶数，所以有，或，分别，和，因为后者不满足条件B，所以A只能等于12，然后得到，所以这三个数分别是12，8和2。例6如果有五个连续的自然数，它们的和是一个平方数，中间三个数的和是一个立方数，那么五个数中最小的数的最小值是。分析考察了平方数和立方数的知识点，也涉及了小数字连续自然数的问题。设置未知数字是有技巧的：一般来说，中间的数字是设置好的，这样前后的数字相对中间的数字是对称的。如果中间数是x，它们的和是，中间三个数的和是。是一个平方数，如果是，它是一个立方数，所以至少有2个质因数3和5，即至少225，中间数至少是1125，那么这五个数的最小值是1123。合并找到最小的自然数。乘以2是完整的平方数，乘以3是完整的立方数，乘以5是五次方数。分辨率为了最小化所需的数字，该数字不能有除2、3和5之外的任何质量因子。让这个数在分解质量因子之后。因为它是一个完整的平方数乘以2，也就是一个完整的平方数，那么，是2的倍数；同样，我们知道、是3的倍数，而、是5的倍数。因此，它是3和5的倍数，除以2和1。是2和5的倍数，除以3大于2；是2和3的倍数，除以5 4。的最小值分别是15、20和24，因此这样的自然数是最小值。例7如果两个完美平方的差是77，那么两个完美平方的最大和是多少？最低是多少？分辨率让两个完全平方分别求和，然后两个完全平方的和可以表示为，因此平方和越大，平方和越小，平方和越小，并且，当，获得最大值时，当两个完全平方的和最大时，是；当，最小值为2，两个完全平方之和最小，为85。巩固)(2008清华附中考试)有两位数。他们相差14岁。如果你把它们分开平方，两个平方数的最后两位数(一位数和十位数)是相同的，那么两个两位数是相同的。(请写下所有可能的答案)解析让这两个数字中较小的一个，然后另一个，由问题可知，(是正整数)，也就是说，因为和都是两位数，所以它可能是25、50或75，也可能是18、43或68。经过检查，43和68都符合问题的含义，所以这两个数字是18、32、43、57、68或82。示例8 A是一个两位数的数，其中六倍是三位数。如果将B放在A的左边或右边以获得两个不同的五位数，并且这两个五位数之间的差是一个完整的平方数(整数的平方)，则A的所有可能值的总和是。分辨率如果把B放在A的左边，得到的五位数字是：如果把放在的右边，得到五位数字。这两个数的差是一个完整的平方数，因此是5和一个完整的平方数的乘积。a也是两位数，因此它可以是、和a的所有可能值的总和.合并被称为四位数，如果两个数字是质数、完整的平方数以及质数和非1的完整平方数的乘积，那么满足条件的所有四位数都是_ _ _ _ _ _。分析本课题综合运用了数论知识。因为它是一个质数，B不能是偶数，也是一个完整的平方数，那么合格的数只有16和36，所以可以确定B是1或3。因为它是一个质数和一个不是1的完整平方数的乘积，所以在61-69中只有63和68是合格的，那么A是3或8。那么它可以是31、33、81和83，其中31和83是质数，所以满足条件的四个数字是3163和8368。例9自然数与其自身相乘的结果称为完整的平方数。众所周知，一个完整的平方数是四位数，每个位数小于7。如果组成它的所有数字都加上3，则得到另一个完整的平方数，并找到原来的四个数字。分辨率将这个四位数设为(1)，由于每个数字都小于7，所以每个数字都会增加3，并且不会出现舍入，因此从 到素因子将被分解，是的，它有一个除数，但是有，所以只有4种可能性，即。因此，正因为如此；同样，所以，因此；一个接一个的测试，只有满足，因此，得到，原来的四位数是。例10有一个正整数的平方，它的最后三个数字是相同的，但不是0。尝试寻找满足上述条件的最小正整数。分辨率一个平方数的结尾只能是0、1、4、5、6、9。因为111，444，555，666，999不是完整的平方数，所以要求的最小数字是4位数。检查1111，1444.我们可以知道满足条件的最小正整数是。这样的四个正整数能被找到，从而它们中任意两个的乘积和的和是一个完整的平方数吗？如果是，请举一个例子。如果没有，请解释原因。解析因为偶数的平方可以被4整除，奇数的平方可以被4整除，所以任何正整数的平方都可以被4整除0或1整除。假设有四个正整数。被4除成余数2，所以被4除成余数2或3。如果有两个偶数，如果它们是偶数，那么它是4的倍数，除以4和2，所以它不可能是一个完整的平方数。因此，最多只有一个偶数，中间至少有三个奇数。如果它被设置为奇数和偶数，那么它被4除以1或3，因此至少中间的两个数字具有相同的余数。如果它被4除以相同的余数，那么它就是1或3。除以4等于1，所以除以4等于3不是一个完整的平方数；总而言之，不可能有所有的平方数。合并证明：像11，111，1111，11111这样的数字没有完整的平方数，解析因为奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，奇数的平方除以4 1，偶数的平方可以被4整除。这些数字是奇数，它们的余数除以4等于3，所以不可能是一个完整的平方数。示例12 (2004年爱情杯)三个连续的正整数，中间是完美的平方数，这三个连续的正整数的乘积称为“妙数”。问：小于2008年的所有美妙数字的最大公约数是多少？分辨率是一个奇妙的数，所以奇妙数的最大公约数不会大于60。任何连续三次一个正整数必须有一个可以被3整除的整数，所以任何一个美妙的数字都必须有一个3的因子。如果中间的数字是一个偶数，并且是一个完整的平方数，它必须能被4整除。如果中间的数字是奇数，那么第一个和第三个数字是偶数，所以任何一个美妙的数字都必须有一个因子4。另外，由于一个完整的平方数的位数只能是0、1、4、5、6、9，如果位数是0和5，那么中间的数可以被5整除。如果它的位是1和6，第一个数可以被5整除。如果它的位是4和9，第三个数字可以被5整除。因此，任何美妙的数字都必须有一个5的因子。因为3，4和5的最小公倍数是60，任何一个奇妙的数都必须有一个60的因子，所以所有奇妙数的最大公约数至少是60。根据上面的分析，所有美妙数字的最大公约数不能大于60，并且至少为60，所以它只能是60。(南京青年数学与智力冬令营，2004)这里，当k是1到100之间的正整数时，有一个不同的k，使s成为正整数的平方。分辨率平方数除以4的余数是0或1。当时，S除以4等于3，所以S不是一个平方数；当时，当k在1和100之间时，s在13和409之间，其中只有8个平方数是奇数：其中每个平方数对应1 k，所以答案是8。(2007年走进美妙的数学花园)可以表达的自然数是一个三角数。有一个四位数，它既是一个三角数又是一个完美的平方数。根据题目，就是。因为sum是两个连续的自然数，所以必须有一个奇数和一个奇数。也称为相邻自然数的互素，“奇数”和“也是互素的，所以奇数，()，是一个四位数，有，也就是说，它也是相邻的，有。当时，当相邻偶数为50时，条件得到满足，这时，即：当时，80和82这两个偶数都不满足。当时，偶数120和122不满足。所以，合并自然数的平方排列在1，4，9，16，25，36，49，612号位的号码是多少？分辨率1到3的平