小学奥数资料：平移、旋转、割补题库教师版

平移、旋转、割补例题精讲图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形【例 1】 如下图，六边形中，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米【例 2】 如图所示，梯形中，平行于，又，试求梯形 的面积 【解析】 如右图，将沿平移至,连接,在三角形中，有，有，所以三角形为直角三角形由于，所以梯形的面积与三角形的面积相等，为【例 3】 右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？ 【解析】 如图所示，将道路平移后的（16-2）（10-2）=112【例 4】 如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个请算出阴影部分的面积 【解析】 如图，将阴影部分分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于正十二边形的每个内角为，所以阴影小三角形的顶角等于，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是，所以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为平方厘米【例 5】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形已知甲三角形两条直角边分别为和，乙三角形两条直角边分别为和，求图中阴影部分的面积 【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和所以阴影部分面积为：【例 6】 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几.【解析】 阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答. 割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).显然，阴影部分正好是长方形的，所以原题阴影部分占整个图形面积的. 拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的.根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以，商不变.所以原题阴影部分占整个图形面积的. 等分法将原图等分成个小三角形(见右上图)，阴影部分占个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的.注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立.【例 7】 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点为中心转动一个正方形当厘米，厘米，厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确) 【解析】 右图由左图旋转而得，则右图中的8个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于正方形面积减去4个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为厘米，所以重叠部分的面积为：(平方厘米)【例 8】 如图，在直角三角形中有一个正方形，已知厘米，厘米，求阴影部分的面积 【解析】 绕点逆时针旋转，使与重合，则点落在边上的点处，且则阴影部分面积转化为直角三角形的面积，所以阴影部分的面积为平方厘米【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三角形将旋转到三角形 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图，三角形是等腰直角三角形，是三角形外的一点，其中，求四边形的面积 【解析】 因为和都是直角，和为，所以和的和也为，可以旋转三角形，使和重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形，面积为平方厘米【例 11】 （2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，中，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积 【解析】 如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置由于，所以而，所以，那么、三点在一条直线上由于，所以是等腰直角三角形，且斜边为，所以它的面积为根据面积比例模型，的面积为【例 12】 （2008年武汉明心奥数挑战赛）如图，直角梯形中，将腰以为中心逆时针旋转至，连接、，则的面积是 【解析】 如图所示，将以为中心顺时针旋转，到的位置延长与交于由于是直角梯形，与垂直，则四边形是长方形，则由于与面积相等，而的底边，高，所以的面积为，那么的面积也为1【例 13】 如图，正方形和有一个公共点，试比较三角形和三角形的面积 【解析】 因为和是直角，所以和是互补角，将三角形顺时针旋转到达的位置，则、在同一条直线上，且，即是的中点，所以三角形和三角形面积相等，则三角形和三角形面积相等【例 14】 (2008年全国小学数学资优生水平测试)如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，、交于已知、的长分别为、，求三角形的面积 【解析】 如图，连接，以点为中心，将顺时针旋转到的位置那么，而也是，所以四边形是直角梯形，且，所以梯形的面积为：()又因为是直角三角形，根据勾股定理，所以()那么()，所以()【例 15】 (2008年迎春杯高年级组决赛)如图，已知，则 【解析】 将三角形绕点和点分别顺时针和逆时针旋转，构成三角形和，再连接，显然，所以是正方形三角形和三角形关于正方形的中心中心对称，在中心对称图形中有如下等量关系：；所以【例 16】 (第八届华杯赛总决赛)如图所示的四边形中，厘米，连接对角线，求四边形的面积 【解析】 由，可得，将剪下来，翻转，再贴在边上，即将点粘在点上，点粘在点上，如右上图所示则点在点的位置由于，所以、三点在同一条直线上由于，所以，即是等腰直角三角形，它的面积就等于四边形的面积，所以四边形的面积为平方厘米【例 17】 如图，在中，求“？”的度数 【解析】 如图，由于，可以将移动到，由于，所以，又，而，所以四边形是等腰梯形，有，点评：通过构造全等三角形来转化【例 18】 下图三角形是等腰三角形，三角形是正三角形，点在 边上，当三角形的面积是时，三角形的面积是多少？ 【解析】 以点为中心，由三个三角形可拼成右图：连结、，则是一个正六边形连结、，显然是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半，所以是三角形的面积的3倍由于，根据“鸟头定理”，所