导数09高考汇编

2009 年导数高考题年导数高考题 一、选择题选择题 1.(2009 年广东卷文)函数 x exxf) 3()(的单调递增区间是 A. )2 ,( B.(0,3) C.(1,4) D. ), 2( w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】D 【解析】 ( )(3)(3)(2) xxx fxxexexe ,令( )0fx,解得2x ,故选 D 2 （2009 全国卷理） 已知直线 y=x+1 与曲线yln()xa相切，则 的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点 00 (,)P xy，则 0000 ln1,()yxayx,又 0 0 1 |1 x x y xa 000 10,12xayxa .故答案选 B 3.（2009 安徽卷理）设ab,函数 2 () ()yxaxb的图像可能是 解析： / ()(32)yxaxab，由 / 0y 得 2 , 3 ab xa x ，当xa时，y取 极大值 0，当 2 3 ab x 时y取极小值且极小值为负。故选 C。 或当xb时0y ，当xb时，0y 选 C 4.（2009 安徽卷理）已知函数( )f x 在 R 上满足 2 ( )2 (2)88f xfxxx ，则曲 线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程是 （A）21yx （B）yx （C）32yx （D）23yx 解析：由 2 ( )2 (2)88f xfxxx 得 2 (2)2 ( )(2)8(2)8fxf xxx， 即 2 2 ( )(2)44f xfxxx， 2 ( )f xx /( ) 2fxx，切线方程为 12(1)yx ，即210 xy 选 A 5.（2009 安徽卷文）设，函数的图像可能是 【解析】可得 2 ,() ()0 xa xbyxaxb为的两个零解. 当xa时,则( )0 xbf x 当axb时,则( )0,f x 当xb时,则( )0.f x 选 C。 【答案】C 6 （2009 江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线 3 yx和 2 15 9 4 yaxx都相 切，则a等于 A1或 25 - 64 B1或 21 4 C 7 4 或 25 - 64 D 7 4 或 7 答案：A 【解析】设过(1,0)的直线与 3 yx相切于点 3 00 (,)x x，所以切线方程为 32 000 3()yxxxx 即 23 00 32yx xx，又(1,0)在切线上，则 0 0 x 或 0 3 2 x ， 当 0 0 x 时，由0y 与 2 15 9 4 yaxx相切可得 25 64 a ， 当 0 3 2 x 时，由 2727 44 yx与 2 15 9 4 yaxx相切可得1a ，所以选A. 7.（2009 江西卷理）设函数 2 ( )( )f xg xx，曲线( )yg x在点(1, (1)g处的切线 方程为21yx，则曲线( )yf x在点(1,(1)f处切线的斜率为 A4 B 1 4 C2 D 1 2 答案：A 【解析】由已知(1)2 g ，而( )( )2fxg xx，所以(1)(1)2 14fg 故选 A 8.（2009 天津卷文）设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f(x),且 2f(x)+xf(x)x 2 ,x 下面的 不等式在 R 内恒成立的是 A 0)(xf B 0)(xf C xxf)( Dxxf)( 【答案】A 【解析】由已知，首先令0x ，排除 B，D。然后结合已知条件排除 C,得到 A 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式 的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。 9.(2009 湖北卷理)设球的半径为时间 t 的函数 R t。若球的体积以均匀速度 c 增 长，则球的表面积的增长速度与球半径 A.成正比，比例系数为 C B. 成正比，比例系数为 2C C.成反比，比例系数为 C D. 成反比，比例系数为 2C 【答案】D 【解析】由题意可知球的体积为 3 4 ( )( ) 3 V tR t，则 2 ( )4( )( )cV tR t R t，由此 可得 4( ) ( )( ) c R t R t R t ，而球的表面积为 2 ( )4( )S tR t， 所以 2 ( )4( )8( )( )vS tR tR t R t 表 ， 即 22 8( )( )2 4( )( )( ) ( )( )( ) cc vR t R tR t R tR t R t R tR t 表 ，故选 D 10.（2009 全国卷理）曲线 21 x y x 在点 1,1处的切线方程为 A. 20 xy B. 20 xy C.450 xy D. 450 xy 解解： 111 22 2121 |1 (21)(21) xxx xx y xx , 故切线方程为1(1)yx ,即20 xy 故选故选 B. 11.（2009 湖南卷文）若函数( )yf x的导函数在区间 , a b 上是增函数， 则函数( )yf x在区间 , a b 上的图象可能是【 A 】 A B C D 解: 因为函数( )yf x的导函数( )yfx在区间 , a b 上是增函数，即在区间 , a b 上 各点处的斜率k是递增的，由图易知选 A. 注意 C 中yk 为常数噢. 12.（2009 陕西卷文）设曲线 1* () n yxnN 在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点 的横坐标为 n x,则 12n xxx的值为 (A) 1 n (B) 1 1n (C) 1 n n (D) 1 答案:B 解析: 对 1* ()(1) nn yxnNynx 求导得,令1x 得在点（1，1）处的切线的斜 率1kn,在点 （1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1) nn yk xnx ,不妨设0y , 1 n nn x 则 12 12311 . 23411 n nn xxx nnn , 故选 B. 13.（2009 天津卷理）设函数 1 ( )ln (0), 3 f xxx x则( )yf x A 在区间 1 ( ,1),(1, ) e e 内均有零点。 B 在区间 1 ( ,1),(1, ) e e 内均无零点。 C 在区间 1 ( ,1) e 内有零点，在区间(1, ) e内无零点。 D 在区间 1 ( ,1) e 内无零点，在区间(1, ) e内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。 解析：由题得 x x x xf 3 31 3 1 )( ，令0)( xf得3 x；令0)( xf得 30 x；0)( xf得3 x，故知函数)(xf在区间)3 , 0(上为减函数，在区间 ababa o x o x y ba o x y o x y b y ) , 3 ( 为增函数，在点3 x处有极小值03ln1 ；又 01 3 1 ) 1 ( , 0 1 3 , 3 1 )1( ee f e eff，故选择 D。 14.（2009 重庆卷文）把函数 3 ( )3f xxx的图像 1 C向右平移u个单位长度，再 向下平移v个单位长度后得到图像 2 C若对任意的0u ，曲线 1 C与 2 C至多只有 一个交点，则v的最小值为（ ） A2B4C6D8 【答案】B 解析根据题意曲线 C 的解析式为 3 ()3(),yxuxuv则方程 33 ()3()3xuxuvxx，即 23 3(3)0ux uuv，即 3 1 3 4 vuu 对任 意0u 恒成立，于是 3 1 3 4 vuu 的最大值，令 3 1 ( )3 (0), 4 g uuu u 则 2 33 ( )3(2)(2) 44 g uuuu 由此知函数( )g u在（0，2）上为增函数， 在(2,) 上为减函数，所以当2u 时，函数( )g u取最大值，即为 4，于是 4v 。 二、填空题填空题 15.（2009 辽宁卷文）若函数 2 ( ) 1 xa f x x 在1x 处取极值，则a 【解析】f(x) 2 2 2 (1)() (1) x xxa x f(1) 3 4 a 0 a3 【答案】3 16.若曲线 2 f xaxInx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 . 解析解析 解析：由题意该函数的定义域0 x ，由 1 2fxax x 。因为存在垂直于 y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0 x 范围内导函数 1 2fxax x 存 在零点。 解法 1 （图像法）再将之转化为 2g xax 与 1 h x x 存在交点。当0a 不符 合题意，当0a 时，如图 1，数形结合可得显然没有交点，当0a 如图 2，此时 正好有一个交点，故有0a 应填,0 或是|0a a 。 解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程 1 20ax x 在0, 内有解，显然可 得 2 1 ,0 2 a x 17.（2009 江苏卷）函数 32 ( )15336f xxxx的单调减区间为 . 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。 2 ( )330333(11)(1)fxxxxx， 由(11)(1)0 xx得单调减区间为( 1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 18.（2009 江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，点 P 在曲线 3 :103C yxx 上， 且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 . 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。 2 31022yxx ，又点 P 在第二象限内，2x 点 P 的坐标为（- 2，15） 19.（2009 福建卷理）若曲线 3 ( )lnf xaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a取 值范围是_. 【答案】：(,0) 解析：由题意可知 2 1 ( )2fxax x ，又因为存在垂直于y轴的切线， 所以 2 3 11 20(0)(,0) 2 axaxa xx 。 20.(2009 陕西卷理)设曲线 1* () n yxnN 在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的 横坐标为 n x,令lg nn ax，则 1299 aaa的值为 . 答案：答案：-2 1* 1 1 12991299 () (1)|11(1)(1) 1 1 298 991 .lg.lg.lg2 2 399 100100 n nn x n yxnN yxynxynynx n x n aaax xx A A AA 解析：点（1，1）在函数的图像上，（1，1）为切点， 的导函数为切线是： 令y=0得切点的横坐标： 21.（2009 宁夏海南卷文）曲线21 x yxex 在点（0,1）处的切线方程为 。 【答案】31yx 【解析】2 xx xeey，斜率 k20 0 e3，所以，y13x，即 31yx 解答题 29.(2009 山东卷理)（本小题满分 12 分） 两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一 点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km， 建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂 对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建 在的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. （1）将 y 表示成 x 的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的 垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离;若 不存在，说明理由。 解法一:（1）如图,由题意知 ACBC, 22 400BCx, 22 4 (020) 400 k yx xx 其中当10 2x 时，y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 22 49 (020) 400 yx xx （2） 22 49 400 y xx , 422 322322 89 ( 2 )188(400) (400)(400) xxx y xxxx ,令0y 得 422 188(400)xx,所以 2 160 x ,即4 10 x ,当04 10 x时, 422 188(400)xx, 即0y 所以函数为单调减函数,当4 620 x时, 422 188(400)xx,即0y 所 以函数为单调增函数.所以当4 10 x 时, 即当 C 点到城 A 的距离为4 10时, 函数 22 49 (020) 400 yx xx 有最小值. 解法二: （1）同上. （2）设 22 ,400mxnx, 则400mn, 49 y mn ,所以 494914911 ()13()(13 12) 40040040016 mnnm y mnmnmn 当且仅当 49nm mn 即 240 160 n m 时取”=”. 下面证明函数 49 400 y mm 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. 设 0m1m2160,则 12 1122 4949 () 400400 yy mmmm 1212 4499 ()() 400400mmmm 2112 1212 4()9() (400)(400) mmmm m mmm 21 1212 49 () (400)(400) mm m mmm 1212 21 1212 4(400)(400)9 () (400)(400) mmm m mm m mmm , 因为 0m1m24240240 9 m1m29160160 所以 1212 1212 4(400)(400)9 0 (400)(400) mmm m m mmm , A B C x 所以 1212 21 1212 4(400)(400)9 ()0 (400)(400) mmm m mm m mmm 即 12 yy函数 49 400 y mm 在 (0,160)上为减函数. 同理,函数 49 400 y mm 在(160,400)上为增函数,设 160m1m2400,则 12 1122 4949 () 400400 yy mmmm 1212 21 1212 4(400)(400)9 () (400)(400) mmm m mm m mmm 因为 1600m1m21 ()讨论 f(x)的单调性; ()若当 x0 时，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性， 第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函 数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。 解： （I）)2)(2(4)1 (2)( 2 axxaxaxxf w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由1a知，当2x时，0)( x f，故)(xf在区间)2 ,(是增函数； 当ax22时，0)( x f，故)(xf在区间)2 , 2(a 是减函数； 当ax2时，0)( x f，故)(xf在区间),2(a是增函数。 综上，当1a时，)(xf在区间)2 ,(和),2(a是增函数，在区间 )2 , 2(a 是减函数。 （II）由（I）知，当0x时，)(xf在ax2或0x处取得最小值。 aaaaaaaf2424)2)(1 ()2( 3 1 )2( 23 aaa244 3 4 23 af24)0( 由假设知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m , 0)0( , 0)2( 1 f af a 即 . 0 24 , 0)6)(3( 3 4 , 1 a aaa a 解得 1a6 故a的取值范围是（1，6） 32.（2009 广东卷 理） （本小题满分 14 分） 已知二次函数( )yg x的导函数的图像与直线2yx平行，且( )yg x在 1x 处取得极小值1(0)mm设 ( ) ( ) g x f x x （1）若曲线( )yf x上的点P到点(0,2)Q的距离的最小值为2，求m的值； （2）()k kR如何取值时，函数( )yf xkx存在零点，并求出零点 解：（1）依题可设1) 1()( 2 mxaxg (0a)，则aaxxaxg22) 1(2)( ； 又 gx的图像与直线2yx平行 22a 1a mxxmxxg21) 1()( 22 ， 2 g xm f xx xx ， 设 ,oo P x y，则 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 )()2(| x m xxyxPQ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m mmmmm x m x2|2222222 2 2 0 2 2 0 当且仅当 2 0 2 2 0 2 x m x 时， 2 | PQ取得最小值，即| PQ取得最小值2 当0m时，2)222(m 解得12 m 当0m时，2)222(m 解得12 m （2）由 120 m yf xkxk x x (0x)，得 2 120k xxm * 当1k 时，方程 * 有一解 2 m x ，函数 yf xkx有一零点 2 m x ； 当1k 时，方程 * 有二解4410mk ， 若0m ， 1 1k m ， 函数 yf xkx有两个零点 )1 (2 )1 (442 k km x ，即 1 )1 (11 k km x； 若0m ， 1 1k m ， 函数 yf xkx有两个零点 )1 (2 )1 (442 k km x ，即 1 )1 (11 k km x； 当1k 时，方程 * 有一解4410mk , 1 1k m , 函数 yf xkx有一零点m k x 1 1 综上，当1k 时, 函数 yf xkx有一零点 2 m x ； 当 1 1k m (0m )，或 1 1k m （0m ）时， 函数 yf xkx有两个零点 1 )1 (11 k km x； 当 1 1k m 时，函数 yf xkx有一零点m k x 1 1 . 33.（2009 安徽卷理） （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 已知函数 2 ( )(2ln ),(0)f xxaxa x ，讨论( )f x 的单调性. 本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨 论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分 12 分。 解：( )f x 的定义域是(0,+), 2 22 22 ( )1. axax fx xxx w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设 2 ( )2g xxax,二次方程( )0g x 的判别式 2 8a . 当 2 80a ，即02 2a时，对一切0 x 都有( )0fx,此时( )f x 在 (0,) 上是增函数。 当 2 80a ,即2 2a 时，仅对2x 有( )0fx,对其余的0 x 都有 ( )0fx,此时( )f x 在(0,) 上也是增函数。 当 2 80a ，即2 2a 时， 方程( )0g x 有两个不同的实根 2 1 8 2 aa x , 2 2 8 2 aa x , 12 0 xx. x 1 (0,)x 1 x 12 ( ,)x x 2 x 2 (,)x ( )fx+0_0+ ( )f x 单调递增A极大 单调递减 A 极小 单调递 增 此时( )f x 在 2 8 (0,) 2 aa 上单调递增, 在 22 88 (,) 22 aaaa 是上单调递减, 在 2 8 (,) 2 aa 上单调递增. 34.（2009 安徽卷文）（本小题满分 14 分） 已知函数，a0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）讨论的单调性； （）设 a=3，求在区间1，上值域。期中 e=2.71828是自然对数的 底数。 【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不 能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数( )f x 在 2 1,e 上的值 域。 【解析】(1)由于 2 2 ( )1 a f x xx 令 2 1 21(0)tytatt x 得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 2 80a ,即02 2a时, ( )0f x 恒成立. ( )f x在(,0)及(0,)上都是增函数. 当 2 80a ,即2 2a 时 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由 2 210tat 得 2 8 4 aa t 或 2 8 4 aa t w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 8 0 4 aa x 或0 x 或 2 8 4 aa x 又由 2 20tat 得 2222 8888 4422 aaaaaaaa tx 综上当02 2a时, ( )f x 在(,0)(0,)及上都是增函数. 当2 2a 时, ( )f x 在 22 88 (,) 22 aaaa 上是减函数, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在 22 88 (,0)(0,)(,) 22 aaaa 及上都是增函数. (2)当3a 时,由(1)知( )f x 在1,2上是减函数. 在 2 2,e 上是增函数. 又(1)0,(2)23 20ffln 22 2 2 ()50f ee e w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 函数( )f x 在 2 1,e 上的值域为 2 2 2 23 n2,5le e w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 35.（2009 江西卷文） （本小题满分 12 分） 设函数 32 9 ( )6 2 f xxxxa （1）对于任意实数x，( )fxm恒成立，求m的最大值； （2）若方程( )0f x 有且仅有一个实根，求a的取值范围 解：(1) 2 ( )3963(1)(2)fxxxxx, 因为(,)x , ( ) fxm, 即 2 39(6)0 xxm恒成立, 所以 81 12(6)0m , 得 3 4 m ，即m的最大值为 3 4 (2) 因为 当1x 时, ( ) 0fx ;当12x时, ( ) 0fx ;当2x 时, ( ) 0fx ; 所以 当1x 时,( )f x 取极大值 5 (1) 2 fa; 当2x 时,( )f x 取极小值 (2)2fa; 故当(2)0f 或(1)0f时, 方程( )0f x 仅有一个实根. 解得 2a 或 5 2 a . 36.（2009 江西卷理） （本小题满分 12 分） 设函数( ) x e f x x （1） 求函数( )f x 的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 若0k ，求不等式 ( ) (1) ( )0fxkx f x的解集 解： (1) 22 111 ( ) xxx x fxeee xxx , 由 ( ) 0fx ,得 1x . 因为 当0 x 时, ( ) 0fx ； 当01x时, ( ) 0fx ； 当1x 时, ( ) 0fx ； 所以( )f x 的单调增区间是:1,) ； 单调减区间是: (,0) (0,1，. (2)由 2 2 1 ( )(1) ( ) x xkxkx fxkx f xe x 2 (1)(1) 0 x xkx e x , 得：(1)(1)0 xkx. 故：当 01k时, 解集是： 1 1xx k ； 当 1k 时，解集是： ； 当 1k 时, 解集是： 1 1xx k . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 37.（2009 天津卷文） （本小题满分 12 分） 设函数0) ,( ,) 1( 3 1 )( 223 mRxxmxxxf其中 （）当时，1m曲线）（，在点（11)(fxfy 处的切线斜率 （）求函数的单调区间与极值； （）已知函数)(xf有三个互不相同的零点 0， 21,x x，且 21 xx 。若对任意 的, 21 xxx，) 1 ()(fxf恒成立，求 m 的取值范围。 【答案】 （1）1（2）)(xf在)1 ,(m和),1 ( m内减函数，在 )1 ,1 (mm 内增函数。函数)(xf在mx1处取得极大值)1 (mf，且)1 (mf= 3 1 3 2 23 mm 函数)(xf在mx1处取得极小值)1 (mf，且)1 (mf= 3 1 3 2 23 mm 【解析】解：当1) 1 (,2)(, 3 1 )(1 2/23 fxxxfxxxfm故时， 所以曲线）（，在点（11)(fxfy 处的切线斜率为 1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）解：12)( 22 mxxxf，令0)( xf，得到mxmx1,1 因为mmm11, 0 所以 当 x 变化时，)(),( xfxf的变化情况如下表： x )1 ,(m m1 )1 ,1 (mm m1 ),1 ( m )( xf+0-0+ )(xf 极小值极大值 )(xf在)1 ,(m和),1 ( m内减函数，在)1 ,1 (mm 内增函数。 函数)(xf在mx1处取得极大值)1 (mf，且)1 (mf= 3 1 3 2 23 mm 函数)(xf在mx1处取得极小值)1 (mf，且)1 (mf= 3 1 3 2 23 mm （3）解：由题设， )( 3 1 ) 1 3 1 ()( 21 22 xxxxxmxxxxf 所以方程1 3 1 22 mxx=0 由两个相异的实根 21,x x，故3 21 xx，且 0) 1( 3 4 1 2 m，解得 2 1 )( 2 1 mm，舍 因为1 2 3 , 32, 221221 xxxxxx故所以 若0)1)(1 ( 3 1 ) 1 (,1 2121 xxfxx则，而0)( 1 xf，不合题意 若,1 21 xx 则对任意的, 21 xxx有, 0, 0 21 xxxx 则0)( 3 1 )( 21 xxxxxxf又0)( 1 xf，所以函数)(xf在, 21 xxx的 最小值为 0，于是对任意的, 21 xxx，) 1 ()(fxf恒成立的充要条件是 0 3 1 ) 1 ( 2 mf,解得 3 3 3 3 m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上，m 的取值范围是) 3 3 , 2 1 ( 【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与 方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。 38.(2009 湖北卷理)(本小题满分 14 分) 在 R 上定义运算 1 :4 3 pqpcqbbc （b、c 为实常数） 。记 2 1 2fc， 2 2fb，R.令 2 1 fff. 如果函数 f在1处有极什 4 3 ,试确定 b、c 的值； 求曲线 yf上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点； 记 |11g xfxx 的最大值为M.若Mk对任意的 b、c 恒成立， 试示k的最大值。 解当1( )byfx时，函数得对称轴 x=b 位于区间 1,1之外 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 此时max ( 1), (1), ( )Mggg b 由 2 (1)( 1)4 ,( )( 1)(1)0ffbf bfbm有 若 10,max ( 1), ( )bgg b 则f (1)f (-1)f (b),g(-1) 于是 2 111 max( 1) ,( )(1)( )(1)( )(1) 222 Mff bff bff bb 若01b，则f (=1)f (1)f (b)，max ( 1), ( )gg bg(1) 于是 2 1111 max( 1) ,( )( 1)( )( 1)( )(1) 2222 Mff bff bff bb 综上，对任意的 b、c 都有 1 2 M 而当， 1 0, 2 bc时， 2 1 ( ) 2 g xx 在区间 1,1上的最大值 1 2 M w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故MK对任意的 b，c 恒成立的 k 的最大值为 1 2 39.（2009 四川卷文） （本小题满分 12 分） 已知函数 32 ( )22f xxbxcx的图象在与x轴交点处的切线方程是510yx。 （I）求函数( )f x 的解析式； （II）设函数 1 ( )( ) 3 g xf xmx，若( )g x的极值存在，求实数m的取值范围以及 函数( )g x取得极值时对应的自变量x的值. 【解析解析】 （I）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f,即430bc 又 2 ( )34fxxbxc ，由已知(2)1285fbc得870bc 联立，解得1,1bc . 所以函数的解析式为 32 ( )22f xxxx 4 分 （II）因为 32 1 ( )22 3 g xxxxmx 令 2 1 ( )3410 3 g xxxm 当函数有极值时，则0 ，方程 2 1 3410 3 xxm 有实数解， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由4(1)0m ，得1m . 当1m 时，( )0g x有实数 2 3 x ，在 2 3 x 左右两侧均有( )0g x，故函数 ( )g x无极值 当1m 时，( )0g x有两个实数根 12 11 (21),(21), 33 xmxm ( ), ( )g x g x情况如下表： x 1 (,)x 1 x 12 ( ,)x x 2 x 2 ()x ( )g x +0-0+ ( )g x 极大值 极小值 所以在(,1) m时，函数( )g x有极值； 当 1 (21) 3 xm 时，( )g x有极大值；当 1 (21) 3 xm时，( )g x有极小值； 12 分 40.（2009 全国卷理）(本小题满分 12 分) 设函数 2 1f xxaInx有两个极值点 12 xx、，且 12 xx （I）求a的取值范围，并讨论 f x的单调性； （II）证明： 2 1 22 4 In f x 解: （I） 2 22 2(1) 11 axxa fxxx xx 令 2 ( )22g xxxa，其对称轴为 1 2 x 。由题意知 12 xx、是方程( )0g x 的 两个均大于1的不相等的实根，其充要条件为 480 ( 1)0 a ga ，得 1 0 2 a 当 1 ( 1,)xx 时， 0,( )fxf x在 1 ( 1,)x内为增函数； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 12 ( ,)xx x时， 0,( )fxf x在 12 ( ,)x x内为减函数； 当 2, ()xx 时， 0,( )fxf x在 2, ()x 内为增函数； （II）由（I） 2 1 (0)0,0 2 gax， 2 22 (2)axx +2 222 2222222 1(2)1f xxalnxxxx lnx+2 设 22 1 (22 )1() 2 h xxxx lnxx ， 则 22(21)122(21)1h xxxlnxxxlnx 当 1 (,0) 2 x 时， 0,( )h xh x在 1 ,0) 2 单调递增； 当(0,)x 时， 0h x，( )h x在(0,) 单调递减。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 111 2ln2 (,0),() 224 xh xh 当时 故 22 1 22 () 4 In f xh x 41.（2009 湖南卷文） （本小题满分 13 分） 已知函数 32 ( )f xxbxcx的导函数的图象关于直线 x=2 对称. （）求 b 的值； （）若( )f x 在xt处取得最小值，记此极小值为 ( )g t ，求 ( )g t 的定义域和 值域。 解: （） 2 ( )32fxxbxc .因为函数( )fx的图象关于直线 x=2 对称， 所以 2 2 6 b ，于是6.b （）由（）知， 32 ( )6f xxxcx， 22 ( )3123(2)12fxxxcxc . （）当 c 12 时，( )0fx，此时( )f x 无极值。 （ii）当 c12 时，( )0fx有两个互异实根 1 x , 2 x.不妨设 1 x 2 x，则 1 x 2 2 x. 当 x 1 x 时，( )0fx， ( )f x 在区间 1 (,)x内为增函数； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 1 x x 2 x时，( )0fx，( )f x 在区间 12 ( ,)x x内为减函数; 当 2 xx时，( )0fx，( )f x 在区间 2 (,)x 内为增函数. 所以( )f x 在 1 xx处取极大值，在 2 xx处取极小值. 因此，当且仅当12c 时，函数( )f x 在 2 xx处存在唯一极小值，所以 2 2tx. 于是 ( )g t 的定义域为(2,) .由 2 ( )3120f tttc得 2 312ctt . 于是 3232