2.1.1 合情推理

第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理,从前有个财主，想教儿子识字，请来一位教书先生.先生把着学生的笔杆儿，写一横，告诉是个“一”字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是个“三”字.学到这里，儿子就告诉父亲说：“我已经学会了写字，不用先生再教了.”于是，财主就把教书先生给辞退了.,一天，财主要邀请一位姓万的朋友，叫儿子写张请帖.,财主的儿子怎么写的?,1.理解归纳推理、类比推理的概念，掌握归纳推理、类比推理的方法技巧.(重点)2.掌握归纳法的步骤，体会归纳推理、类比推理在数学发现中的作用(难点),探究点1归纳推理,【1】1742年哥德巴赫(Goldbach,16901764,是德国一位中学教师,也是一位著名的数学家,1725年当选为俄国彼得堡科学院院士)观察到:,猜想:任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和.,任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和.,哥德巴赫猜想,哥德巴赫猜想的过程：,具体的材料,观察分析,猜想出一般性的结论,由某类事物的具有某些特征,推出该类事物的都具有这些特征的推理,或者由概括出的推理,称为归纳推理（简称归纳）.,归纳推理,特点：部分整体，个别一般.,铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，,猜想:所有金属都导电.,又如,猜想:,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,分析：数列的通项公式表示的是数列an的第n项an与序号n之间的对应关系.为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项.,解:当n=1时，a1=1;,当n=2时，,当n=3时，,当n=4时，,观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数.由此猜想，这个数列的通项公式为,春秋时代的鲁班在林中砍柴时被齿形草叶割破了手,他由此受到启发从而发明了锯.,探究点2类比推理,类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这样得到的.,鱼类,潜水艇,蜻蜓,直升机,仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的.,可能有生命存在,有生命存在,温度适合生物的生存,一年中有四季的变更,有大气层,行星、围绕太阳运行、绕轴自转,火星,地球,火星上是否有生命？,火星与地球类比的思维过程：,火星,地球,存在类似特征,类比推理的过程（步骤）,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.,类比推理,(1)类比推理是由特殊到特殊的推理.,(2)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象,我们可以从不同的角度出发确定类比对象,基本原则是要根据当前问题的需要,选择适当的类比对象.,(1)类比是从人们已经掌握的事物的属性,推断正在研究中的事物的属性,它以已有知识为基础,类比出新的结论.,(2)是从一事物的特殊属性推断另一种事物的特殊属性.,(3)类比的结果具有猜测性.,类比推理的特点,例2类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.,分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且“0”和“1”分别在加法和乘法中占有特殊的地位.因此，我们可以从上述4个方面来类比这两种运算.,解：（1）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数.,(2)从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即,(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程,都有唯一解,(4)在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数.即,三角形,思考：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？,例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想,分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们可以选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象.,解：如上图，在RtABC中，C=90.设a,b,c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得,类比勾股定理的结构，我们猜想,成立.,【总结提升】,提出猜想,观察、分析、比较、联想,归纳、类比,从具体问题出发,通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.,例4如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.,1.每次只能移动1个金属片；2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测：把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?,分析：我们从移动1,2,3,4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数.,解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13）表示，共移动了1次.当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动顺序是：,（1）把第1个金属片从1号针移到2号针；（2）把第2个金属片从1号针移到3号针；（3）把第1个金属片从2号针移到3号针；用符号表示为：（12）（13）（23）共移动了3次.当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，归结为n=2的情形，移动顺序是：（1）把上面两个金属片从1号针移到2号针；,（2）把第3个金属片从1号针移到3号针；（3）把上面两个金属片从2号针移到3号针；其中（1）和（3）都需要借助中间针.用符号表示为：（13）（12）（32）；（13）；（21）（23）（13）共移动了7次.当n=4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动顺序是：（1）把上面3个金属片从1号针移到2号针；,（2）把第4个金属片从1号针移到3号针；（3）把上面3个金属片从2号针移到3号针；用符号表示为：（12）（13）（23）（12）（31）（32）（12）；（13）；（23）（21）（31）（23）（12）（13）（23）.共移动了15次.至此，我们得到依次移动1,2,3,4个金属片所需次数构成的数列.,1,3,7,15.观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：,由此我们猜想：若把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动an次，则数列an的通项公式为：,思考：把n个金属片从1号针移到3号针,怎样移动才能达到最少的移动次数呢?,通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n个金属片都适用的移动方法.当移动n个金属片时，可分为下列3个步骤：,（1）把上面（n-1）个金属片从1号针移到2号针；（2）把第n个金属片从1号针移到3号针；（3）把上面(n-1)个金属片从2号针移到3号针.,这样就把移动n个金属片的任务，转化为移动两次（n-1）个金属片和移动一次第n个金属片的任务.而移动（n-1）个金属片需要移动两次（n-2）个金属片和移动一次第（n-1）个金属片，移动（n-2）个金属片需要移动两次（n-3）个金属片和移动一次第（n-2）个金属片如此继续.直到转化为移动1个金属片的情形.根据这个过程，可得递推公式,从这个递推公式出发，可以证明（1）式是正确的.,一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.,费马猜想：,同