胡海岩机械振动基础第三章课件

1,第3章无限自由度系统的振动,2,多自由度,大自由度,无限自由度,3,实际振动系统的惯性、弹性和阻尼都是连续分布的，因而称为连续系统或分布参数系统。确定连续系统中无数个质点的运动形态需要无限多个广义坐标，因此连续系统又称为无限自由度系统。,研究对象:限于由均匀的、各向同性线弹性材料制成的弦、杆、轴、梁、膜以及板，简称为弹性体。,4,同类型的振动：圆轴的扭转振动弦的横向振动,*振动微分方程、解法、特性相同*,5,弹性杆、轴和弦的振动微分方程形式相同，可用相同的方法分析。具体的步骤是：,（1）分离变量将偏微分方程转化为常微分方程组;（2）由边界条件得出固有振动;（3）利用固有振型的正交性将系统解耦;（4）用振型叠加法得到系统的自由振动或受迫振动。,6,3.1.1振动微分方程直杆的纵向振动微分方程,设有长度为l的直杆，取杆的轴线作为x轴。记杆在坐标x的横截面积为A(x)、材料弹性模量为E(x)、密度为(x)，用u(x,t)表示坐标为x的截面在时刻t的纵向位移，f(x,t)是单位长度杆上分布的纵向作用力。取长为dx的杆微段为分离体，其受力分析如图。,7,杆的纵向应变和轴向力分别为,根据Newton第二定律,8,对于均匀材料的等截面直杆，E(x)A(x)为常数,是杆内弹性纵波沿杆纵向的传播速度,直杆纵向受迫振动微分方程,其中,9,杆的自由振动,分离变量法:,两端必同时等于一常数。可以证明，该常数不会为正数.,（1）固有振动的形式,10,（2）固有振动的确定,描述了杆纵向振动幅值沿杆长的分布,杆的边界条件是杆两端对变形和轴向力的约束条件，又称作几何边界条件和动力边界条件。,11,a.在固定端：;b.在自由端：。,简单边界条件,例：试求端固定,端自由的等截面直杆纵向固有振动。解：写出边界条件,12,这一函数给出了杆各截面的振幅，即杆的振动形态，故称为第r阶固有振型函数。像多自由度系统的固有振型一样，固有振型函数的值具有相对性，即可以是任意常数。不妨取式中，则有,求出无穷多个固有频率:,由,杆的固有振动解:,13,上式在时恰好对应自由杆零固有频率和刚体运动振型。此时，杆的运动有别于,而两端自由杆的固有频率和固有振型函数为,对于两端固定杆，类似地可求出其固有频率和固有振型函数为,杆的运动为,14,三种边界条件下杆的前3阶固有振型,固有振型曲线与坐标轴的交点为节点，系统固有振动幅值在节点处为零。对于简单边界条件的杆，第r阶固有振型有r-1个节点。,15,复杂边界条件,a.一端装有刚度系数为k的拉压弹簧时,-反映了杆端的轴力与弹性力（或惯性力）间平衡关系,16,b.一端装有集中质量m时,17,例4.1.2均匀材料等截面直杆的端固定、端具有集中质量m，求其固有频率。,固有频率方程,解：问题的边界条件为,18,a.如果杆的质量相对于集中质量很小，即,是杆的质量与杆端集中质量的比值。,其中,与将弹性杆视为无质量弹簧得到的单自由度系统固有频率一致。,是整根杆的静拉压刚度。,19,b.若杆质量小于集中质量，但比值不是非常小，可取Taylor展开，将频率方程写作,解出并Taylor展开至二次项,相当于将弹性杆视为有质量的弹簧，并用Rayleigh法计入弹簧质量后的单自由度系统固有频率。,20,3.1.2固有振型函数的正交性,固定边界:,自由边界:,(a),21,(a)-(b),同理可得,(b),(a),22,杆的固有振型函数正交关系，它们分别反映了不同阶次固有振动间既无动能交换又无势能交换.,当时，定义杆的第r阶模态质量和模态刚度为,它们的大小取决于如何对固有振型函数归一化，但其比值总满足:,23,更一般地，若杆在端有弹簧和集中质量、在端有弹簧、集中质量，按能量互不交换原则可写出固有振型正交关系,对于端点固定或自由的非均匀变截面直杆，其固有振型的加权正交关系式为,正交性的物理意义：在第r阶振型上的弹性力和惯性力不会在第s阶振型上作功，反之亦然。,24,3.2圆轴扭转振动微分方程,圆轴的扭转角应变和扭矩分别为,25,是轴内剪切弹性波沿轴纵向的传播速度。,根据动量矩定理:,对于均匀材料的等截面圆轴:,其中,圆轴扭转振动微分方程,26,（3）弦的横向振动微分方程,设有长为l、横截面积为A、材料密度为的弦，两端所受张力为。用w(x,t)表示坐标为x的截面在时刻t的横向位移，p(x,t)是单位长度弦上分布的横向作用力。由于只考虑微振动，可认为张力保持不变。取微段后运用Newton第二定律，可得到,是弦内弹性