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第2章导数与微分,1.1导数的概念1.2导数的运算1.3微分,结束,定义设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，属于该邻域，记若存在，则称其极限值为y=f(x)在点x0处的导数，记为,或,2.1导数的概念,导数定义与下面的形式等价：,若y=f(x)在x=x0的导数存在，则称y=f(x)在点x0处可导，反之称y=f(x)在x=x0不可导，此时意味着不存在.,左导数与右导数左导数:,右导数:,显然可以用下面的形式来定义左、右导数,定理3.1y=f(x)在x=x0可导的充分必要条件是y=f(x)在x=x0的左、右导数存在且相等.,导数的几何意义,当自变量从变化到时，曲线y=f(x)上的点由变到,此时为割线两端点M0，M的横坐标之差，而则为M0，M的纵坐标之差，所以即为过M0，M两点的割线的斜率.,曲线y=f(x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲线y=f(x)无限接近时的极限位置M0P，因而当时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：,所以，导数的几何意义是曲线y=f(x)在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率.,M0,M,设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：而当时,曲线在的切线方程为,(即法线平行y轴).,当时,曲线在的法线方程为,而当时,曲线在的法线方程为,例1求函数的导数解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取极限:同理可得:特别地,.,例2求曲线在点处的切线与法线方程.解:因为,由导数几何意义,曲线在点的切线与法线的斜率分别为:于是所求的切线方程为:即法线方程为:,即,2.1.2可导性与连续性的关系,定理2若函数y=f(x)在点x0处可导，,则f(x)在点x0处连续.,例3证明函数在x=0处连续但不可导.,证因为,所以在x=0连续,而,即函数在x=0处左右导数不相等,从而在,x=0不可导.,由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件,即可导定连续,连续不一定可导.,2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则,2.2导数的运算,特别地,如果,可得公式,注：法则（1）（2）均可推广到有限多个可导函数的情形,例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导，则,解：,例2设,解：,例1,解：,即,类似可得,例3求y=tanx的导数,基本导数公式表,2.2.2基本初等函数的导数,解：,例4,2.2.3复合函数的导数,例6,解：,解：,例5,1.隐函数的导数,例7求方程所确定的函数的导数,解：,方程两端对x求导得,2.2.5隐函数的导数,隐函数即是由所确定的函数，其求导方法就是把y看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出。,即,例8,2.3.1微分的概念,2.3微分,于是函数,，称自变量的微分，,上式两端同除以自变量的微分，得,因此导数也称为微商,f(x)在点x0处的微分又可写成,f(x)在(a,b)内任一点x处的微分记为,记为,解：,于是,
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