谈高中数学教学中普遍存在的十大问题[1].ppt

谈高中数学教学中普遍存在的十大问题李祎博士教授福建师范大学数学与计算机科学学院,目录,一、不善于对数学教材进行深入挖掘和剖析二、不能有效揭示数学的本质特质和属性三、不能站在较高观点来认识问题和分析问题四、不善于对数学教材进行质疑和批判五、过于注重细枝末节而致逐末舍本,目录,六、不能抓住教学中的重点和难点来组织教学七、不能有效稚化自己的思维引导学生展开探究八、不注重思想方法的提炼与数学文化的渗透九、不善于运用启发的策略来引导学生展开探究十、不善于抓住课题进行深入分析与研究,一、不善于对数学教材进行深入挖掘和剖析数学教师要形成和具备较高的数学素养，就必须经常善于深入挖掘和剖析教材，仔细揣摩，反复琢磨，穷根究底，深及精髓，力求获得对教材的透彻理解，形成对所教内容的深刻感悟。只有钻得深，才能站得高，才能讲得透。浮光掠影，浅尝辄止，一知半解，不求甚解，这样是无法很好地驾驭教材的。,1、对某些规定的深入认识为什么零不能作分母？为什么分数相加时首先要通分？为什么规定“负负得正”？为什么要规定？在指数函数中，为什么要规定a0呢？在对数函数中，为什么要规定a不等于1呢？为什么在反函数中，要把互换？,2、对数学推证的深入探求（1）等差数列求和公式的推导配对求和（由高斯求和引出）化归转化（先求Sn=1+2+n）倒序相加面积法,an=a1+(n-1)d，不妨设ai0(a1+a2)/2+(a2+a3)/2+(an-1+an)/2=(n-1)(a1+an)/2两段同时加(a1+an)/2，整理便得。,（2）等比数列求和公式的推导等比定理化归转化提取a1：,归纳猜想错位相消透视“错位相消”的实质求和的实质,其它方法提取q：数学美的启示：,（3）二项式定理的证明能否严格进行推导和证明？,（4）绝对值不等式的理解动静转换数形结合,二、不能有效揭示数学的本质特质和属性“强调本质，注意适度形式化”：高中数学不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，通过返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生的探索活动，使学生理解数学概念、结论形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法。数学本质揭示的过程，也就是概念的形成过程，结论的推导过程，方法的思考过程，问题的发现过程，思路的探索过程，规律的概括过程等。,1、宏观上学科本质的把握（1）代数的本质代数的本质是用符号表示数和未知数参与运算。代数主要研究：数式运算和方程求解。两种数；三种式；六种运算；四类方程。进一步发展：次数更高的方程，未知数更多的方程。从代数式（符号代表数），到方程（符号代表未知数），到函数（符号代表变数）（函数实质是几何的代数化）（2）解析几何的本质（3）微积分的本质,2、微观上数学概念本质的把握示例一：方程方程的定义“含有未知数的等式叫方程”，并没有反映方程的本原思想。教师在方程定义的黑体字上大做文章，反复举例，咬文嚼字地学习，朗朗上口地背诵，没有实质性的意义。绝对没有学生因为背不出这句话而学不会“方程”的。（链接）方程的实质是“为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立起来的一种等式关系。”在数学学习中，学生能否记住方程的定义并不重要，关键在于领会其基本思想，并能够进行灵活地应用。,示例二：面积，体积“物体的表面或围成的图形表面的大小。”“物体所占空间的大小。”将体积描述为“所占空间的大小”，充其量是对体积的一种解释，并不会对学生理解“体积”有多少帮助。什么是“空间”?很费解，比体积本身更难懂。何谓“所占”?如何衡量“大小”?也没有说，留下疑团多多，经不起深究。不必背诵，不必记忆，不要在“什么是面积”“什么是体积”上做文章。要在面积、体积所具有的特征上下工夫，力求触及数学的本质。,设V是定义在立体图形所成集合M上的非负集合函数。它满足以下三个条件：(1)有限可加性。对于M中两个不相交的图形A、B，V(AUB)=V(A)+V(B)(2)运动不变性。M中的图形A运动(平移、旋转、反射)之后，其体积V(A)不变。(3)单位正方体属于M，其体积为1。我们把V称做M上的体积。M中的图形(集合)A都有体积V(A)。,示例三：函数“随处定义”和“单值对应”；“要素说”示例四：极限如果对于任意给定的正数e，总存在自然数N，使得当nN时，不等式Xn-Ae恒成立，则称常数A是数列Xn的极限。搭界脚手架帮助理解这样定义的合理性。示例五：导数，定积分示例六：集合，数列幼儿园孩子学习集合本质属性：变化中保持不变的属性。,三、不能站在较高的观点来认识问题和分析问题占领制高点，居高临下，深入浅出。做学问，先学“问”，教做学问，自己先得学会“问”。重要的是自己问自己。问的为什么越多，得到的学问就越多。问的为什么越深，就认识得越透彻、越深入。可以从多方面来发问，其中，善于问“数学”，学会问“数学”，在问“数学”中，便能求得进步。,示例一：偶数、奇数与自然数的个数。能与自然数集建立一一对应的集合，叫可数集。全体正偶数的集合是一个可数集，全体正奇数的集合也是可数集。可数集可以含有可数的真子集，两个可数集也可以并成一个可数集。整数集与有理数集都是可数集。按照基数概念，能一一对应的两个集合的基数相同，于是有理数集、整数集、全体正偶数集等，与自然数集有相同的基数。因而这些集合所含元素“一样多”。但这些集合又是一个包含另一个作为真子集，所以又不同于有限集元素的“多少”概念。,并非所有的无穷集都是可数集，实数集就不是可数集，这样，实数集与自然数集有不同的基数，因而说明了无穷集所含元素数量的多少还有某种层次区别。许多数学悖论都与“无限”有关：伽利略悖论：“正整数和偶数一样多”S=（11）（11）（11）S=1（11111）,示例二：集合的“确定性”“互异性”特征S=，对于元素，重复数的值可以是某个正整数，也可以是0或。如果=0，则认为元素；如果，则认为S中有无穷多个。可以看出，一般集合就是只能取0或1的多重集。,示例三：函数的定义“变量说”；“对应说”。“关系说”：设集合X、Y，定义X与Y的积集XY为：XY=（x，y）xX，yY。对于积集XY中的一子集R，若（x，y）R，则称x与y有关系R，记为xRy。现设f是X与Y的关系，如果（x，y）、（x，z）f，必有y=z，那么称f为X到Y的函数。（严密化）映射又称为算子；（拓展）从实数集（或其子集）到实数集的映射称为函数；从非空集到数集的映射称为泛函数；从非空集到它自身的映射称为变换。,四、不善于对数学教材进行质疑和批判书本尤其是教材如同“圣经”，具有绝对至上的权威地位，有些教师通常不敢越雷池于一步。对书本顶礼膜拜的结果，是教师和学生想象力的贫瘠、创造性的不足和批判意识的严重缺失。书本并非完美无暇，出现错误也在所难免，关键是师生不能拘泥于各种“权威”，对课本应该用批判的眼光审视它，有保留地、选择性地接受，而不能一味地全盘照搬。（三角形内角和定理的证明）（有理数的加法）,1、函数单调性的定义：“如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值”2、函数的定义：“设A、B是非空的数集，。显然，值域是集合B的子集。”变更：（1）设A是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，都有唯一确定的数和它对应，那么就称为定义在集合A上的一个函数。（2）在现行定义中，直接取B为函数的值域，学习映射后，再来解释函数的特殊性(即除A、B为非空数集外，还要求为“满射”)。,3、直线与平面平行的判定定理平面外的直线a平行于平面内的直线b。（1）这两条直线共面吗？（2）直线a与平面相交吗？证明必要性的反思。可否直接证明？用教材教可否“合二为一”展开探究？,五、过于注重细枝末节而致逐末舍本普通高中数学课程标准（实验）：在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。普通高中数学课程标准（实验）：应删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容，克服“双基异化”的倾向。,过分地热衷于形式化的探究，过分地钟情于细枝末节的追究与考问。平行四边形的面积等于底乘以高。等式两边同时加上或者减去一个数,所得的结果仍然是等式。我们把解方程的过程叫做方程的解。三角形的高是线段还是长度？x-x=3是不是方程？2x-x是单项式还是多项式？整数能否叫做分数？,比如，是否是幂函数？又如，指数函数与对数函数，如是不是指数函数？（是，不是，相对于哪个常数而言）更有甚者，再如：一定要写成，一定要写成对细枝末节的过分强调，还表现在推理和运算的技巧性方面：集合中的“三性”、函数定义域的技巧性训练“双基”的异化。定义是一种人为的约定，具体定义要进行具体分析。定义的名称式把握；定义的概念式把握。,六、不能抓住教学中的重点和难点来组织教学数学教学缺乏思想性、整体性、结构性，从而也就缺少了应有的“大气”而陷于细枝末节的“小气”。因此，数学教学改革中，强调“思想性”“整体性”“结构性”应当成为努力的重点。示例一：“单调性”的教学多快好省地直接把形式化的定义呈现出来，其余的更多时间，便是咬文嚼字式的强调，细枝末节的提示，解题程式的归纳，题海战术的训练。让学生参与形式化、符号化和数学化的过程：由图象直观特征，到自然语言描述，再到数学符号描述；从直观到抽象、从文字到符号、从粗疏到严密的建构过程。,示例二：“二分法”的教学重点：方程解的问题，函数零点问题，逼近问题，缩小区间问题，怎样缩小的问题，二分法问题。牛顿法；弦截法（链接）教学生学什么学习科学研究的一般方法；教学生怎么学用“从无到有”的探究方法去学重点没凸显，难点没突破，教学更多是一种“告诉”行为，教案中的重点和难点成了文字摆设，三维目标中的“过程与方法”也成了一种贴标签式的点缀。,七、不能有效稚化自己的思维来引导学生展开探究教师的责任在于把写在教科书上的冰冷的学术形态，恢复为学生易于接受的火热思考的教育形态。教师是教学的“主导”，“主导”务必立足于“学为主体”之上，教师绝不能“喧宾夺主”；“主导”重在“授之以渔”，教师决不能“越俎代庖”。教师事先把数学知识切碎、嚼烂了，再通过简单的灌输方式喂给学生，把数学知识的主动建构“转换”为知识的被动接受，把数学思维方面应有的训练“转嫁”给“机械记忆”。“病态”数学教学；稚化，悬置，换位，退位,示例一：“零点定理”的教学零点附近图像特征：（+；+）（+；）同号一定没有零点？异号只有一个零点？如何使零点唯一？零点是否一定有限？示例二：直线的方向向量与平面的法向量示例三：“奇偶性”的教学f(2+x)=f(2-x)，x=2y=f(2+x)，y=f(2-x)，x=0f(2+x)=-f(2-x)，(2,0)y=f(2+x)，y=-f(2-x)，(0,0)（斜率）,八、不注重思想方法的提炼与数学文化的渗透显性的知识是写在教材上的一条明线，隐性的思想是潜藏其中的一条暗线。明线容易理解，暗线不易看明。有意识地使用提示语，使思想方法显性化，使思想方法的学习和掌握，从自发走向自觉，从无意识默会走向有意识习得。示例一：哲学辩证观点的揭示加与减，乘与除；极限中的过程与结果、有限与无限、近似与精确；导数。,示例二：数学思想方法的渗透以“对数函数及其性质”教学为例：通过图像研究函数的性质数形结合思想；通过具体函数的性质归纳出一般函数的性质从特殊到一般的归纳思想；区分和两种情况来讨论函数的性质分类讨论思想；通过与指数函数的对比来研究对数函数类比的思想方法；对数概念引出及对数性质应用实例数学模型思想方法。教师招考函数单调性的教学。,哲学的视角：形式与内容；运动与静止；偶然与必然；现象与本质；原因与结果；整体与局部；有限与无限；等。思维的视角：观察与实验；类比与猜想；归纳与演绎；分析与综合；抽象与概括；特殊与一般；比较与分类；等。数学的视角：1、全局性的方法：数学模型方法；关系映射反演方法；公理化方法；坐标方法；等。2、技巧性的方法：解题策略层面；解题方法层面；解题技巧层面。高考考试说明：函数与方程思想；数形结合思想；分类与整合思想；化归与转化思想；特殊与一般思想；有限与无限思想；必然与或然思想。,示例三：教学永远具有教育性学科德育：每门学科都具有其他学科无法代替的教学内涵，挖掘学科的德育因素积极施教。教书中不忘育人：教学1+1=2,不等于3：教育学生相信真理，要对自己的计算负责；“等可能性”教学中的“抛硬币”实验：为了得到教师的表扬，可以随意伪造数据。“垂足”的教学：融思想性、科学性、趣味性为一体。,九、不善于运用启发的策略来引导学生展开探究启发的重要性：教师教学的基本功启发的适度性策略：启发不能过于直白，也不能过于含蓄。（波利亚）启发的适时性策略：当启处启，当发处发，“启”在关键处，“发”在要害处，防止超前启发和滞后启发。启发后要留给学生思考的时间：时间等待理论,示例：“你能不能应用勾股定理啊？”当教师这样进行提问时，对学生的帮助就是太多了。它有以下几点坏处（大意）：a.如果学生已经接近于问题的解答，他当然明白这一提问所包含的启示意义，可是他已不需要这项帮助了。反之，一个学生离开问题的解决还远得很的时候，他就很可能完全不明白这一提问的作用。因此这一提问并不能帮助那些急需帮助的学生。b.如果这一提问的启示意义是被了解了，那么，它把所有的奥秘都显露出来，几乎没有留下什么可给学生做了。,c.这一提问的启示意义太狭隘，即使学生能应用它来解决手头的这个题目，但对以后会碰到的题目他们根本没有学到什么，这一提问太不具有启发性了。d.就算学生懂得这提问的作用，可是他很难体会到教师凭什么会想到它的，学生本人怎样才能够独立地想到它的。看起来这提问太