3.1人口增长模型ppt课件

第5讲,建模实例人口增长模型,1,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,2,问题提出马尔萨斯（Malthus）人口增长模型或指数增长模型.,3,模型假设1.时刻t的人口函数是连续可微的.2.人口的增长率是常数.3.人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增减只取决于人口中个体的生育和死亡.,4,模型建立设t时刻的人口数为x(t),增长率为r（常数）.依平衡原理，在时间段t内，有人口增长数=出生人口数-死亡人口数+迁入人口数-迁出人口数,5,由假设3，上式后两项忽略.于是,人口增长数=出生人口数-死亡人口数（5.1）,6,又出生或死亡人口数均依赖于两个因素：（1）时间间隔t的长短.（2）时间间隔开始时的人口总数x(t),且均为正比例关系，即t间隔内的出生人数=k1x(t)tt间隔内的死亡人数=k2x(t)t其中k1，k2分别为出生率和死亡率.,7,代入（5.1）式，得到t间隔内人口的增量为x(t+t)-x(t)=(k1-k2)x(t)t或,8,令t0，得,按假设k1-k2为常数r，再设初始人口数为x0，便构成一个初值问题,9,模型求解x(t)=x0ert(5.2),10,模型分析、评价与检验1961年世界人口总数为3.06109，在19611970年这段时间内，每年平均的人口增长率为2%，代入（5.2）式，得x(t)=3.06109e0.02(t-1961)(5.3)当t=2670时，x=4.41015,即达到4400万亿人，这相当于地球上每平方米至少要容纳8个人.,11,模型假设1.时刻t的人口函数是连续可微的.2.人口的增长率是常数.3.人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增减只取决于人口中个体的生育和死亡.,12,模型修改与重建1.将增长率r表示为人口x的函数r(x)，按前面的分析，r(x)应为x的减函数.假定其为x的线性函数r(x)=r-sx其中r,s0，这里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率.显然，对任意的x0,r(x)r.,13,2.设定自然资源和环境条件等因素所能容纳的最大人口数量为xm（也称最大人口容量）.(),故,（5.4）,14,其中常数r，xm要根据人口统计数据确定.,15,3.将指数模型中r的换为（5.4）式便得到新模型,(5.5),称为阻滞增长模型或逻辑斯蒂克（Logistic）人口增长模型.,16,用可分离变量方程的解法可得其解为,（5.6）,17,4.模型解的再分析与检验对（5.6）式求二阶导数可得,（5.7）,由此，分析人口总数x(t)的变化规律:,18,人口总数x(t)的变化规律:,19,x(t)S形曲线,x增加先快后慢,20,（1）,即无论人口初值如何，人口总数均以xm为极限，其中x=xm是图形x(t)的水平渐进线.（2）当0xx时，x(t)是单调增加的.,21,又由（5.7）式知，当时，;当时，即是x(t)图形的拐点.人口变化率函数在处取到最大值.,22,（3）xm要根据人口统计资料以及自然环境等因素来确定