福建省永泰县第一中学2020学年高二数学上学期期中试题

福建省永泰县第一中学2020学年高二数学上学期期中试题 完卷时间：120 分钟 满分：150 分第卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 已知命题，使得，则为（ ） A. ，总有 B. ，总有C. ,使得 D.，使得 2.已知中心在原点的等轴双曲线，右顶点为，则双曲线的焦距等于（ ）A B C D3不等式的一个必要不充分条件是（ ）A B C D4下列命题中正确的是()A.命题“若，则”的否命题为“若，则”； B.命题“若平面向量共线，则方向相同”的逆否命题为假命题；C.命题“若或，则”是真命题；D.命题“若，则中至少有一个大等于”的逆命题是真命题.5已知椭圆的中心在原点，长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是()A B或C D或6.如图所示，在平行六面体中， ，是的中点，点是上的点， 且 .用表示向量的结果是（ ）第6题图A B. C. D. 高二数学试卷 第 1 页 共4页 高二数学试卷 第 2 页 共4页7空间四边形中若则（ ）A B C D8已知点为抛物线上的动点，点在轴上的射影为点，点的坐标为， 则的最小值是( ) A B C D 9. 如图所示,在正方体中, 分别侧棱的中点,为线段上一动点,记为异面直线与所成的角,则的集合是（ ）A B第9题图C D10. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，点 是两曲线的一个交点，且垂直轴，则双曲线的离心率为（ ）A B C D11已知椭圆与双曲线有公共焦点且两条曲线在第一象限的交点为点，则的面积为（ ）A B C D12已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且,则椭圆离心率的取值范围为（ ）A B C D第卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置）13命题“”是真命题，则实数的取值范围为_. 14双曲线的一条弦恰被点平分，则这条弦所在的直线方程是_. 15. 已知是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为_. 16. 如图所示，在直四棱柱中，底面为 菱形，且，为侧棱的中点， 分别是线段和线段上的动点(含端点)，且满足， 当运动时，下列结论中正确的序号是_.在内总存在与平面平行的线段；第16题图平面平面；三棱锥的体积为定值；可能为直角三角形.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（本小题满分10分）若命题实数满足，命题实数满足.（）当且为真命题时，求实数的取值范围；（）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.18（本小题满分12分）（）已知中心在原点的双曲线的焦点坐标为，且渐近线方程为，求双曲线的标准方程；（）在圆上任取一点,过点作轴的垂线段，为垂足，当点 在该圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程.高二数学试卷 第 3 页 共4页 高二数学试卷 第 4 页 共4页19.（本小题满分12分）如图所示,已知正方形和矩形所在的平面互相 垂直，,，是线段的中点（）求证：平面；（）求二面角的大小.第19题图20.（本小题满分12分）已知抛物线的方程为，上一点到焦点的距离为.（）求抛物线的方程及点的坐标；（）过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点，设 , ,求证: 是定值.21（本小题满分12分）如图所示，等腰梯形中, ， 为中点， 与交于点，将沿折起，使点到达点的位置（平面）（）证明：平面平面；（）若，试判断线段上是否存在一点 (不含端点),使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值;若不存在，说明理由第21题图22.（本小题满分12分）已知椭圆 的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为.过椭圆上的动点作圆的两条切线分别交轴于两点（）求椭圆的方程；（）求线段长度的最大值，并求此时点的坐标参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BCABDDBBACCA二、填空题（每小题5分，共20分）13、 14、 15、 16、三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17. （本题满分10分=5分+5分）解：（）由，得 1分当时，由 ， 得 2分为真命题，真且真 4分实数的取值范围为 5分（）因为，由 得7分设是的必要不充分条件， 8分 9分又 10分实数的取值范围为 .18. （本小题满分12分=6分+6分）解：（）依题可知双曲线的焦点在轴上，则设其方程为：，且 2分双曲线的渐近线方程为即3分又，由5分得双曲线方程为：6分（）设轨迹上任一点的坐标为，点的坐标为，则依题意可知点坐标为8分的中点为， 10分点 在圆上运动，11分经检验所求方程符合题意,点的轨迹方程为（轨迹方程是不扣分）12分19(本小题满分12分=4分+8分)（）证法一：设，连接，分别是的中点， 是矩形四边形是平行四边形.2分, 又, ,.4分证法二：正方形和矩形所在的平面互相垂直，且,，两两垂直建立如图所示的空间直角坐标系1分设，连接，依题意得, , , , , ,点分别是线段的中点， 2分 .，且直线与不共线3分,又，,.4分（）解：正方形和矩形所在的平面互相垂直, 且 ,，两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系6分设，连接，依题意得, , , , , 7分设为平面的一个法向量 ,则,得令得 即 8分另,又且,是平面的一个法向量（求出平面的法向量亦可）9分= 11分设二面角的大小为(由图可知为锐角)，故所求二面角的大小为 12分20（本小题满分12分=5分+7分）解：（）依题意得抛物线的准线为，1分抛物线上一点到焦点的距离为，由抛物线的定义可得， ，2分抛物线的方程为，3分抛物线的方程，5分（只有一个扣1分）（）当直线的斜率不存在时不符合题意，故直线的斜率必存在且不为.6分直线过点,设直线的方程为，当时，点坐标为，7分设由得，整理得，9分，,，即同理可得11分即是定值. 12分21（本小题满分12分=5分+7分）解：（）证明：连接,在等腰梯形ABCD中， 为中点，四边形为菱形，AE，2分，即,且平面 平面，AE平面POB4分又AE平面ABCE， 平面POB平面ABCE5分（）由（）可知四边形为菱形，在等腰梯形ABCD中正三角形同理,OPOB，6分由（）可知，以O为原点，分别为x轴， y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，7分由题意得，各点坐标为，设 8分设平面的一个法向量为(x，y，z)则，即 取x0，y1，得，所以(0，1，) 9分设直线与平面所成角为，则，即化简得：，解得 11分存在点为的中点时，使直线与平面所成角的正弦值为12分22.（本小题满分12分）解：（I）椭圆的离心率为，1分当时，3分椭圆的方程是4分（II）解法一：设，由得，5分直线的方程:，化简得 又圆心到直线的距离为1， ，6分，化简得，同理有 7分 ，8分9分是椭圆上的点， ，10分 在上单调