福建省永春县第一中学2020学年高二数学下学期期中试题 理（通用）

永春一中高二年（下）期中考数学（理）科试卷 （2020.4）考试时间：120分钟 试卷总分：150分本试卷分第I卷和第II卷两部分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为（ ）Aa，b，c都是偶数Ba，b，c都是奇数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数2下面是关于复数的四个命题：|z|=2，：z2=2i，：z的共轭复数为，：z的虚部为1，其中真命题为（ ）A， B， C， D，3我国古代有着辉煌的数学研究成果.周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、辑古算经等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献. 这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期. 某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )A B C D4设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）A BC D5在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边ABAC，D是A点在BC上的射影，则AB2=BDBC拓展到空间，在四面体ABCD中，AD面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（ ）A BC D6已知，则推测（ ）A1033 B199 C109 D297已知是上的单调增函数，则的取值范围是（ ）A1b2 B1b2 Cb2或b2 Db1或b28用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ ）A B C D92位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A36 B42 C48 D6010设函数在区间（a，b）上的导函数为，在区间（a，b）上的导函数为，若在区间（a，b）上，则称函数在区间（a，b）上为“凹函数”，已知在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（ ）A B C D11已知函数是定义在上的奇函数，当x0时，有成立，则不等式的解集是（ ）A B C D12设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共20分。请把正确答案填在答题卡中横线上）13 14用0，1，2，3，4这五个数字可以组成 个重复数字的四位奇数15已知的展开式中x3项的系数为25，则实数= 16设过曲线（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（本题满分10分）如图，梯形中，.（1）若求AC的长；（2）若，求的面积.18 （本题满分12分）设，数列的前项和为，已知，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.19 (本小题满分12分)已知函数（）（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求的取值范围20 （本题满分12分）如图， 是平行四边形，已知，,平面平面.（1）证明：；（2）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值21 （本题满分12分）已知椭圆的两焦点为，离心率.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线，若与此椭圆相交于，两点，且等于椭圆的短轴长，求的值； （3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.22 （本题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）（1）求的解析式及单调减区间；（2）若函数无零点，求的取值范围永春一中高二年（下）期中考数学（理）参考答案 一、选择题123456789101112DBACACABCDAD二、填空题 13. 1436 15.3 16. 三、解答题17解：（1）因为，所以为钝角，且， 2分因为，所以.在中，由，解得. 5分（2）因为，所以，故，. 6分在中，整理得，解得， 8分所以. 10分18解：（1）由得： 1分所以数列是以为首项，为公差的等差数列 3分由成等比数列.即 解得4分所以， 5分（2）由（）可得， 6分所以，即. 8分. 10分可得 ，所以. 12分19.解：（1）， 1分当0时，x0，0恒成立，在定义域（0，+）上单调递增 3分当0时，令=0，得x=，x0，0得x；0得0x，在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增 5分（2）当=0时，0恒成立 6分当0时，当x0时，0不成立 8分当0时，由（1）可知f（x）min=f（）=ln，由f（）=ln0得1ln0，（0，e 11分综上所述，的取值范围是0，e 12分20解：（1）是平行四边形，且，故，即取BC的中点F，连结EF，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面， 6分（2）,由（）得以B为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则 设平面的法向量为，则，即得平面的一个法向量为由（1）知平面，所以可设平面的法向量为设平面与平面所成二面角的平面角为，则即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为. 12分21、.解：（1）设椭圆方程为，则，所求椭圆方程为. 4分（2）由，消去y，得，则得 （*）设，则，解得.，满足（*） -8分（3） 设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为（不妨设k0），则BC边所在直线的方程为，由，得A用代替上式中的k，得，由，得k0，解得或，故存在三个内接等腰直角三角形.12分22 解：(1) ， 1分又由题意有：，故. 3分此时，由或，所以函数的单调减区间为和. 5分（说明：减区间写为的扣2分. ）(2) ，且定义域为，要函数无零点，即要在内无解，亦即要 在内无解. 6分构造函数.当时，在内恒成立，所以函数在内单调递减，在内也单调递减. 又，所以在内无零点，在内也无零点，故满足条件； 8分当时， 若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增. 又，所以在内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；若，则函数在内单调递减，在内单调递增. 又，所以时，恒成立，故