(次型)线性代数及其应用.ppt

第5章二次型,二次型与对称矩阵二次型的标准化惯性定理二次型的规范形正定二次型Mathematica软件应用,第5.1节二次型与对称矩阵,二次型理论起源于解析几何中化二次曲线或二次曲面方程为标准形问题.这里首先介绍一些基本概念，然后讨论如何利用可逆线性变换把一个二次型化成标准形.基本内容二次型的定义二次型的矩阵表示,称为n元二次型，简称二次型.,称为二次型的系数.,1.二次型定义,定义1,f(tx,ty)=t2f(x,y)例如f(x,y)=2x2-xy+3y2,定义2（二次型的标准形）,只含有平方项的二次型，即,称为标准形.例如：,一般二次型,标准型,2.二次型的矩阵表示对二元二次型，有,二次型的矩阵表示,一般地，对n元二次型,二次型f与实对称矩阵是一一对应的.称A为二次型f的矩阵；称A的秩为二次型f的秩.二次型f的标准形与对角矩阵是一一对应的.,二次型的矩阵表示,例1写出二次型的矩阵表示,解,问题：如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线性变换化为标准形？即通过怎样的线性变换将一个带有交叉的二次齐次多项式(一般二次型)化简为只含有平方项的二次齐式(标准形).,第5.2节二次型的标准化,1.预备知识将二次型化为标准形，需要借助线性变换来实现首先回顾线性变换的概念,若C可逆，称之为可逆线性变换；若C是正交矩阵，称之为正交线性变换.,其次，给出矩阵合同的概念,对n元二次型，我们关心的主要问题是：寻找可逆的线性变换x=cy，使,将上式中A和满足的特殊关系一般化，有以下定义:,定义（合同矩阵）：设A、B为n阶矩阵，如果有可逆矩阵C，使CTAC=B称A与B合同.,合同是矩阵之间的一种关系，具有,反身性对称性传递性定理：可逆线性变换后的二次型矩阵与原二次型的矩阵合同,二次型的标准化问题转化为：如何将一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵。,1.正交变换法,由于二次型的矩阵A都是实对称矩阵，根据上一节的结果知,存在正交矩阵Q，使Q1AQ=QTAQ=为对角阵.将此结论应用于二次型，有如下结论,定理任意n元实二次型f=xTAx，都可经正交变换xQy化为标准形,用正交变换化二次型为标准形的步骤：写出二次型f的矩阵A；求正交矩阵Q，使得为对角阵；正交变换x=Qy化二次型为标准形f=yTy.,解,(i)二次型f的矩阵为,例1求一个正交变换xQy把二次型,(ii)求出A的全部特征值及线性无关特征向量,化为标准形.,得对应的一个线性无关的特征向量,当1=0,时解方程组(0E-A)x=0.,当2=3=2,时解方程组(2E-A)x=0.,得对应的线性无关的特征向量为,(iii)将所求特征向量正交化、单位化,因1分别与2，3正交,故只需将2，3正交化.,正交化,单位化,则正交变换xQy将二次型化为标准形,(iv)写出正交变换,令,正交变换是线性变换中的特殊一类，它具有保持向量的内积、长度不变等优点，即若xQy为正交变换，则,所以正交变换能保持几何图形的大小和形状不变,解,(1)二次型f的矩阵为,例2已知二次型,经正交变换标准化后，二次型标准形的平方项系数是矩阵A的全部特征值,根据特征值的性质，有,通过正交变换化为标准形(1)求参数a，并指出二次曲面所属的曲面类型;(2)当时，求f的最大值,其中,化简为,这是一个椭球面，所以曲面,解得,设二次型经正交变换xQy化为标准形，则,通过正交变二次曲面方程,2.配方法,例3用配方化二次型为标准形,并求所用的可逆线性变换.,解(1)由于f中含有x1的平方项,首先把含x1的项归并起来进行配方，得,则可逆线性变换xCy化二次型为标准形：,解(2)由于f中不含有平方项,首先令,所求可逆线性变换为xCz，这里,配方法化二次型为标准形（小结）利用和的平方公式逐步消非平方项（交叉项）.(1)若二次型含有xi的平方项，则把含有xi的项集中,再按xi配成平方项，其余类推，直至都配成平方项；(2)若在二次型中没有平方项,但aij0(ij),则首先作可逆线性变换：,化二次型为(1)的情形，再配方.,可以证明,定理任何实二次型，都可经过可逆线性变换化为标准形.,用矩阵语言表述，即是,定理对于任何实对称矩阵A，总存在可逆矩阵C，使得CTAC=为对角矩阵，即实对称矩阵一定合同于一个对角矩阵.,3.初等变换法,定理对任何实对称矩阵A,一定存在初等矩阵P1,P2Ps,使PsTP2TP1TAP1,P2Ps=为对角矩阵.证A为实对称矩阵,故存在可逆线性变换xCy使f(x1,xn)=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yTy为标准形.由于C为可逆矩阵，因此可以写成一系列初等矩阵的乘积,即C=P1P2Ps从而CTAC=PsTP2TP1TAP1P2Ps=,定理表明：对A的行每作一次初等变换的同时，也对A的列作相同的初等变换，经过若干次这样的双变换就可把A化为对角矩阵.,初等变换化二次型为标准形的步骤：(1)构造2nn矩阵,(2),例4用初等变换法将二次型化为标准形,并求相应的可逆线性变换.,解二次型f的矩阵,于是,则可逆线性变换x=Cy化二次型为标准形,思考练习,对实二次型f(x1,x2,x3)=xTAx，用不同的可逆线性变换均可将其化为标准形，如果所用的可逆线性变换不同,则化成的标准形一般也不同但是，对同一个二次型，不同的标准形还是有一些共同特性的,第5.3节惯性定理二次型的规范形,基本内容惯性定理二次型的规范形,1.惯性定理,定理设实二次型f(x1,xn)=xTAx的秩为r,可逆线性变换xC1y和xC2z分别把它化为标准形,则p=q.(证明略),设实二次型f(x1,x2,x3)=xTAx经可逆线性变换化为标准形，继续施行可逆线性变换，可以进一步化为下面两种形式:,对比以上三种标准化形式,在实数范围内,可以推断：无论做何种可逆线性变换,标准形的平方项系数中,非零的个数不变；正数、负数的个数不变该结果具有一般性,这就是实二次型的惯性定律,惯性定理告诉我们：,(1)二次型的标准形中，平方项系数中非零的个数唯一确定，是二次型的秩；正数、负数的个数唯一确定，分别称其为二次型的正、负惯性指数；正惯性指数与负惯性指数之差称为二次型的符号差(2)该定理反映在几何上，即是：通过可逆线性变换将二次曲线（面）方程化为标准方程时，方程的系数与所作的变换有关，但曲线的类型（椭圆型、双曲型等）不会因所作线性变换不同而有所改变,第5.4节正定二次型,对不同二次型进行分类，在理论上和应用上都有重要意义,本节介绍一种重要的二次型正定二次型.基本内容二次型的有定性正定二次型的判别法二次型有定性在求函数极值中的应用,1.二次型的有定性,定义：设有实二次型f(x1,xn)=xTAx，如果对任意的x0，都有f(x1,xn)=xTAx0称f为正定二次型;相应的矩阵A称为正定矩阵，记为A0;若对任意x0都有f)的充分必要条件是标准形的n个系数均为正.证明若可逆线性变换x=Cy使f=xTAx=yT(CTAC)y=yTy=,由于C可逆，所以x0与y0等价.而y0时，,即标准形的n个系数均为正.,推论1f=xTAx正定(或A)是正惯性指数等于n.,推论2f=xTAx正定（或A）是A的特征值都大于零.推论3f=xTAx正定（或A）则A0.,解(法1）,A的全部特征值：1=3,2=1,该二次型正定.,(法2）,标准形中两个系数均为正，该二次型正定.,例1,问题：对一般的二次型，无论将其化为标准形还是求其矩阵A的特征值均非易事！能否直接利用二次型的矩阵A判别它是否正定？,A的顺序主子式定义,定理3二次型f(x1,xn)=xTAx正定(或A)的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于零,即,解,各阶顺序主子式,所以，f是正定二次型.,例2判断二次型是否正定.,解,各阶顺序主子式,故f不是正定二次型.,例3判断二次型是否正定.,解,f正定，应有,例4,若f负定，则-f正定;因此有如下结论.,定理4(i)n元二次型f=xTAx负定标准形的n个系数均为负；(ii)n元二次型f=xTAx负定负惯性指数等于n；(iii)n元二次型f=xTAx负定A的特征值都小于零；(iv)n元二次型f=xTAx负定A的奇数阶顺序主子式都小于零,而偶数阶顺序主子式都大于零，即,解,各阶顺序主子式,故f是负定二次型.,例5判断二次型的正定性.,定理5(i)n元二次型f=xTAx半正定充分必要条件是正惯性指数p=r(A)n.(ii)n元二次型f=xTAx半负定充分必要条件是正惯性指数p=0，r(A)n.,思考练习,1.不定.2.负定.3.半正定.,第5.5节Mathematica软件应用,1.命令EigenvaluesA,用以求矩阵A的特征值;2.命令EigenvectorsA,用以求矩阵A的特征向量;3.命令EigensystemA,用以同时给出矩阵A的所有特征值与线性无关的特征向量.,注:求n阶方阵的特征值与特征向量时，结果会显示矩阵的所有特征值与线性无关的特征向量，如果线性无关的特征向量的个数小于n，则会增加零向量，使最后结果中在形式上有n个向量.,EigenvaluesAEigenvectorsA按“Shift+Enter”键，便得计算结果.,例1,解(法