福建省长泰县第一中学2020学年高二数学下学期期末考试试题 理

长泰一中2020学年第二学期期末考试高二理科数学试题(考试时间：120分钟 总分：150分)友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1已知集合，若，则( )A.或 B. 或 C. 或 D. 或或2.已知复数满足，则复数在复平面内的对应点所在象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( )A B C. D 4.已知随机变量服从正态分布, 且, 则 ( )A. B. C. D. 5“”是“函数为奇函数”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）A2 B3 C4 D87.奇函数的定义域为.若为偶函数，且，则()A. B.C. D.8已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（ ）A Ba=e，b=1 C D ，9.函数在的图象大致为（ ）ABCD10.将5名学生分到三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到宿舍的不同分法有（ ）A18种 B36种 C.48种 D60种11已知双曲线的实轴长为16，左焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ( )A B C D 12.已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是（ ）A BC. D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数f(x)=2ax+1-3(a0且a1)的图象经过的定点的坐标是14. 展开式中，项的系数为15.设随机变量服从二项分布B ，则P(3)等于16.若为上的奇函数，且满足，对于下列命题：；是以4为周期的周期函数；的图像关于对称；.其中正确命题的序号为_3 解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17(本题满分12分)已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离()试判断点的轨迹的形状，并写出其方程；()若曲线与直线相交于两点，求的面积.18(本题满分12分)已知命题实数满足（其中），命题方程表示双曲线.（I）若，且为真命题，求实数的取值范围；()若是的必要不充分条件，求实数的取值范围19 (本题满分12分)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润()求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；()求的分布列及均值E()20(本题满分12分)ECDA1BBADC第20题如图，在平行四边形中， ，将沿对角线折起，折后的点变为，且()求证：；()求异面直线与所成角的余弦值；（）E为线段上的一个动点，当线段的长为多少时，与平面所成的角正弦值为？21.(本题满分12分)设函数f(x)x32ax23a2xb(0a0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ D ）A2 B3 C4 D87.奇函数的定义域为.若为偶函数，且，则(B)A. B.C. D.8已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（ D ）A Ba=e，b=1 C D ，9.函数在的图象大致为（ B ）ABCD10.将5名学生分到三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到宿舍的不同分法有（ D ）A18种 B36种 C.48种 D60种11已知双曲线的实轴长为16，左焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ( A )A B C D 12.已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是（A ）A BC. D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数f(x)=2ax+1-3(a0且a1)的图象经过的定点的坐标是(-1,-1).14. 展开式中，项的系数为7015.设随机变量服从二项分布B ，则P(3)等于 21/3216.若为上的奇函数，且满足，对于下列命题：；是以4为周期的周期函数；的图像关于对称；.其中正确命题的序号为_ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17(本题满分12分)已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离()试判断点的轨迹的形状，并写出其方程；()若曲线与直线相交于两点，求的面积.解：()因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为.5分()设, 联立，得 , 7分, 8分直线经过抛物线的焦点, 10分点到直线的距离，12分18(本题满分12分)已知命题实数满足（其中），命题方程表示双曲线.（I）若，且为真命题，求实数的取值范围；()若是的必要不充分条件，求实数的取值范围18.解：（）由 得，1分若，为真时实数t的取值范围是.2分由表示双曲线,得,即为真时实数的取值范围是.4分若为真，则真且真，所以实数t的取值范围是.6分（）设，7分是的必要不充分条件，. 8分当时，有，解得；10分当时，显然，不合题意 11分实数a的取值范围是12分19某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求的分布列及均值E()解(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”P()(10.4)30.216，P(A)1P()10.2160.7845分.(2)的可能取值为200元，250元，300元6分P(200)P(1)0.4，P(250)P(2)P(3)0.20.20.4，P(300)P(4)P(5)0.10.10.2，9分250300P0.40.2因此的分布列为 E()2000.42500.43000.2240(元)12分ECDA1BBADC第20题20(本题满分12分)如图，在平行四边形中，将沿对角线折起，折后的点变为，且()求证：；()求异面直线与所成角的余弦值；（）为线段上的一个动点，当线段的长为多少时，与平面所成的角正弦值为？解：()在中，.四边形是平行四边形，又， 3分A1BDCxzyE又 又4分()如图，过作的垂线，以点为原点建立空间直角坐标系,则,从而6分,7分 异面直线与所成角的余弦值等于.8分（）.设则9分取平面的一个法向量为，10分记与平面所成的角为，则 ，解得 11分即 12分21. (本题满分12分)设函数f(x)x32ax23a2xb(0a1)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若当xa1，a2时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围；(3)当a时，关于x的方程f(x)0在区间1,3上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围解(1)f(x)x24ax3a2(xa)(x3a)令f(x)0，得xa或x3a.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)极小极大f(x)在(，a)和(3a，)上是减函数，在(a,3a)上是增函数当xa时，f(x)取得极小值，f(x)极小f(a)ba3；当x3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大f(3a)b.4分(2)f(x)x24ax3a2，其对称轴为x2a.因为0a1，所以2aa1.所以f(x)在区间a1，a2上是减函数当xa1时，f(x)取得最大值，f(a1)2a1；当xa2时，f(x)取得最小值，f(a2)4a4.于是有即a1.又因为0a1，所以a1.8分(3)当a时，f(x)x3x2xb.f(x)x2x，由f(x)0，即x2x0，解得x1，x22，即f(x)在上是减函数，在上是增函数，在(2，)上是减函数要使f(x)0在1,3上恒有两个相异实根，即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，于是有即解得0b.12分（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。22.在直角坐标系中，曲线（为参数，），曲线（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，记曲线与的交点为.（）求点的直角坐标；（）当曲线与有且只有一个公共点时，与相较于两点，求的值