福建省晋江市养正中学2020学年高二数学下学期期中试题 理

20202020 年下学期养正中学高二数学（理科）期中考试卷年下学期养正中学高二数学（理科）期中考试卷 班级_姓名_座号_分数_ 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分共 60 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的） 1设复数 z 满足 1 1 i i z，则|1z|等于( ) A0 B1 C. 2 D2 2已知随机变量 X 服从二项分布 B（n，p） ，若 E（X）=30，D（X）=20，则 n，p 分别等于（ ） An=45，p= 2 3 Bn=45，p= 1 3 Cn=90，p= 1 3 Dn=90，p= 2 3 3线性回归方程对应的直线 ybxa至少经过其样本数据点 1122 , nn x yxyxy中的一个点； 若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1； 在某项测量中，测量结果服从正态分布 2 1,N (0)，若位于区域 0,1内的概率为0.4，则位于区域0,2内的概率为0.8； 对分类变量X与Y的随机变量 K2的观测值 k 来说，k 越小，判断“X与Y有关 系”的把握越大其中真命题的序号为( )A. B. C. D. 4 九章算术勾股章有一问题:今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去 本八尺而索尽，问索长几何？其意思是:现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系 有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺，牵着绳索退 行，在离木柱根部 8 尺处时绳索用尽.现从该绳索上任取一点，该点取自木柱上 绳索的概率为（ ） A. 55 73 B. 18 73 C. 3 8 D. 5 8 5已知 2 :R,20pxxxa ； :28 a q .若“pq”是真命题，则实数a的 取值范围是（ ） A. 1, B. ,3 C. 1,3 D. ,13, 6盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有4个红球3个白球，从盒子 中任取3个球，则恰好取到2个红球1个白球的概率为（ ） A. 24 35 B. 18 35 C. 12 35 D. 6 35 7.已知点)4 ,(nP为椭圆C：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 上一点， 21,F F是椭圆C的两个 焦点，如 21F PF的内切圆的直径为 3，则此椭圆的离心率为（ ） A 7 5 B 3 2 C 5 3 D 5 4 8.如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分 的概率为（ ） A. 1 4 B. 1 5 C. 1 6 D. 1 7 9.已知直线1ykx 与双曲线 22 4xy的右 支有两个交点， 则k的取值范围为（ ） A 5 (0,) 2 B 5 1, 2 C 55 (,) 22 D 5 (1,) 2 10求“方程 23 loglog0 xx的解”有如下解题思路：设函数 23 loglogf xxx，则函数 f x在0,上单调递增，且 10f，所以原方 程有唯一解1x .类比上述解题思路，方程 5 1134xx 的解集为（ ） A. 1 B. 2 C. 1,2 D. 3 11某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突 击手”、“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉， 五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配 方法共有（ ） A114 种 B150 种 C120 种 D118 种 12已知)( xf为函数)(xfy 的导函数，当) 2 , 0( xx是斜率为 k 的直线的倾 斜角时，若不等式0)( )(kxfxf恒成立，则（ ） A ) 4 ( ) 3 ( 2 3 f f B) 6 (2 1sin ) 1 ( f f C0) 4 () 6 (2 ff D 0) 3 () 6 (3 ff 二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13在极坐标系中，过点（2， 2 ）且与极轴平行的直线的极坐标方程是 _. 14.二项式 1 ()nx x 的展开式中所有项的二项式系数之和是64，则展开式中的常 数项为 15某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位:分) X服从正态分布 2 110,10N，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩90110为事 件A，记该同学的成绩80100为事件B,则在A事件发生的条件下B事件发 生的概率(|)P B A _.（结果用分数表示） 附： X满足： ()0.68PX； (22 )0.95PX； (33 )0.99PX _23212,16. 2 的取值范围是恒成立，则实数不等式对于任意实数aaaxxx 三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 ） 17.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 21,f xxaxaR. （1）当1a 时，解不等式 5f x ； （2）若 2f x 对于xR 恒成立，求实数a的取值范围. 18选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，过点 P(1, 2)的直线l的参数方程为 ty tx 2 3 2 2 1 1 （ 为参数） .以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin4 . （1）求直线 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线 C 相交于 M，N 两点，求 | 1 | 1 PNPM 的值. 19如图所示，已知三棱锥 ABCP 中，底面ABC是等边三角形，且 2ACPBPA ， ED, 分别是 PCAB, 的中点.（1）证明：AB平面CDE；（2）若6PC，求二面角CPBA的 余弦值. 20伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限 性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研 机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表： （1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成 下面的22列联表，并判断是否有%99的把握认为“使 用手机支付”与人的年龄有关； （2）若从年龄在)65,55，)75,65内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查， 记选中的4人中“使用手机支付”的人数为.求随机变量的分布列；求随 机变量的数学期望. 参考数据如下： )( 0 2 kKP 0.05 0.01 0 0.001 0 k 3.84 1 6.63 5 10.82 8 参考格式： )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K ，其中dcban 21已知点) 1 , 0(A，过点) 1, 0( D作与x轴平行的直线 1 l，点B为动点M在直线 1 l上的投影，且满足BAMBABMA. （1）求动点M的轨迹C的方程； （2）已知点P为曲线C上的一点，且曲线C在点P处的切线为 2 l，若 2 l与直线 1 l 相交于点Q，试探究在y轴上是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？ 若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由. 22已知函数xxxfln)(. （1）若函数)0()2()( )( 2 axaaxxfxg，试研究函数)(xg的极值情况； （2）记函数 x e x xfxF)()(在区间)2 , 1 (内的零点为 0 x，记),(min)( x e x xfxm， 若)()(Rnnxm在区间), 1 ( 内有两个不等实根)(, 2121 xxxx，证明： 021 2xxx. 2020年下学期养正中学高二数学（理科）期中考试卷答案 1-5.C C DA C 6-10. B C C D D 11-12. A B 13.1514 14.【答案】 sin215. 27 95 ），（1 3 1 .16 17.1 （1）3,2；（2） 1 2 a 或 3 2 a .。 （1）1a 时，不等式为215xx，等价于 1 215 x xxt 或 21 215 x xx 或 2 215 x xx ， 解得12x，或21x ，或32x ， 32x ，不等式的解集是3,2. （2）由绝对值的三角不等式得212121xaxxaxa， 2f x 对于xR 恒成立， 212a，解得 1 2 a 或 3 2 a .实数a的取值范围为 31 , 22 18.（1）由已知得：，消去 得，化为一般方程为： ，即： ：. 曲线 ：得，即，整理得，即： ： . 19. (1)连接PD，因为ACPBPA，底面ABC是等边三角形， 又因为D是AB的中点，所以CDABABPD,又因为DPDCD，所以 AB平面CDE. （2）因为2ACPBPA，由（1）可知3 CDPD，而 6PC，所以CDPD 以D为原点，以DB的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，如图 所示， 则)0 , 0 , 1(A，)0 , 0 , 1 (B，)0 , 3, 0(C，)3, 0 , 0(P，由题得平面 ABP的一个法向量为)0 , 1 , 0(m. 设平面BCP的一个法向量为),(zyxn 所以 0 0 nPC nBC ，即 033 03 zy yx 令1z得1, 3yx，所以) 1 , 1 , 3(n， 所以 5 5 5 1 ,cosnm由题意知二面角CPBA为锐角，所以二面角 CPBA的余弦值为 5 5 . 20.（1）22列联表如下： 2 K的观测值635 . 6 524 . 9 15354010 )32783(50 2 k， 所以有%99的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关. （2）由题意，可知所有可能取值有 0，1，2，3， 50 9 )0( 2 5 2 4 2 5 2 3 C C C C P， 25 12 ) 1( 2 5 1 4 2 5 2 3 2 5 2 4 2 5 1 3 1 2 C C C C C C C CC P， 10 3 )2( 2 5 1 4 2 5 1 3 1 2 2 5 2 4 2 5 2 2 C C C CC C C C C P， 25 1 )3( 2 5 1 4 2 5 2 2 C C C C P， 所以的分布列是 5 6 25 1 3 10 3 2 25 12 1 50 9 0)(E. 21.(1)设),(yxM，由题得) 1,( xB又) 1 , 0(A，)1 ,(yxMA， )2,(),1, 0(xAByMB，由BAMAABMA，得0)(ABMBMA，即 yxxyx40)2,()2,( 2 ，轨迹C的方程为yx4 2 . （2）设点), 0(nN，) 4 ,( 2 0 0 x xP，由 2 4 1 xy ，得xy 2 1 ， 0 2 1 | 02 xyk xxl ， 直线 2 l的方程为)( 24 - 0 0 2 0 xx xx y，令1y，可得 0 0 0 2 0 2 2 2 2 x x x x x ，Q点 的坐标为) 1, 2 2 ( 0 0 x x ， ) 4 )(1 (2 2 2 0 2 0 n x n x NQNP02 4 )1 ( 2 2 0 nn x n， （*） 要使方程（*）对Rx 0 恒成立，则必有 02 01 2 nn n 解得1n. 即在y轴上存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为) 1 , 0(. 22. （1）由题意，得1ln)( xxf，故1ln)2()( 2 xxaaxxg， 故 x axx x aaxxg ) 1)(12(1 )2(2)( ，0, 0ax.令0)( xg，得 a xx 1 , 2 1 21 当20 a时， 2 11 a ， 2 1 00)( xxg或 a x 1 ； a xxg 1 2 1 0)( , 所以)(xg在 2 1 x处取极大值2ln 4 ) 2 1 ( a g，在 a x 1 处取极小值 a aa gln 1 ) 1 (. 当2a时， 2 11 a ，0)( xg恒成立，所以不存在极值； 当2a时， 2 11 a ， a xxg 1 00)( 或 2 1 x； 2 11 0)( x a xg, 所以)(xg在 a x 1 处取极大值a aa gln 1 ) 1 (，在 2 1 x处取极小值 2ln 4 ) 2 1 ( a g. 综上，当20 a时，)(xg在 2 1 x处取极大值2ln 4 a ，在 a x 1 处取极小值 a a ln 1 ；当2a时，不存在极值；2a时，)(xg在 a x 1 处取极大值 a a ln 1 ，在 2 1 x处取极小值2ln 4 a . （2） x e x xxxFln)(，定义域为), 0( x， x e x xxF 1 ln1)( ，而)2 , 1 (x，故0)( xF，即)(xF在区间)2 , 1 (内单调递增 又0 1 ) 1 ( e F，0 2 2ln2)2( 2 e F， 且)(xF在区间)2 , 1 (内的图象连续不断， 故根据零点存在性定理，有)(xF在区间)2 , 1 (内有且仅有唯一零点. 所以存在)2 , 1 ( 0 x，使得0)()( 0 0 00 x e x xfxF， 且当 0 1xx 时， x e x xf)(； 当 0 xx 时， x e x xf)(， 所以 0 0 , 1 ,ln )( xx e x xxxx