辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）

辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1. 设P=2a（a-2）+3，Q=（a-1）（a-3），aR，则有（）A. B. C. D. 2. 已知mn，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D. 3. 在ABC中，b=，c=3，B=30，则a等于（）A. B. C. 或D. 24. 设等差数列an的前n项和为Sn，若S6=12，则a3+a4=（）A. 3B. 4C. 6D. 75. 已知ABC的周长为18，且sinA：sinB：sinC=4：3：2，则cosA=（）A. B. C. D. 6. 设等比数列an的前n项和为Sn，若，则=（）A. B. C. 17D. 57. 设ABC的三条边分别为a、b、c，三角形面积为，则C为（）A. B. C. D. 8. 已知an为等比数列，a5+a8=2，a6a7=-8，则a2+a11=（）A. 5B. 7C. D. 9. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若S160，S170，则Sn的最小值为（）A. B. C. D. 10. 设变量x、y满足，则2x+3y的最大值为（）A. 11B. 10C. 9D. 811. 在ABC中，若，则ABC是（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形12. 已知x0，y0且x+y=1，则的最小值是（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在各项均为正数的等比数列an中，若a5a6=27，则log3a1+log3a2+log3a10=_14. 对于xR，式子恒有意义，则常数m的取值范围是_15. 若数列an的前n项和，则an的通项公式是_16. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x，则x的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 求函数的最大值，以及此时x的值18. 在ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2-2x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1求：（1）角C的度数；（2）边AB的长19. 在公差不为零的等差数列an中，a4=10，且a3、a6、a10成等比数列（1）求an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和sn20. 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（1）求A的大小；（2）求sinB+sinC的取值范围21. 设函数f（x）=|x-a|+3x，其中a0（）当a=1时，求不等式f（x）3x+2的解集（）若不等式f（x）0的解集为x|x-1，求a的值22. 设数列的前n项和为，且求数列的通项公式；设，数列的前n项和为，求证：答案和解析1.【答案】A【解析】解：P-Q=2a（a-2）+3-（a-1）（a-3）=a20，PQ故选：A作差即可得出P-Q=a20，从而得出P，Q的大小关系本题考查了作差比较实数大小的方法，清楚a20，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】C【解析】解：mn，则取m=1，n=0，a=0，b=2，c=0，可排除A，B，D对C，mn，-m-n，a-ma-n，故C正确故选：C根据不等式的基本性质，结合特殊值，可得正确选项本题考查了不等式的基本性质，属基础题3.【答案】C【解析】解：b=，c=3，B=30，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：（）2=a2+32-3a，整理得：a2-3a+6=0，即（a-）（a-2）=0，解得：a=或a=2，则a=或2故选：C由B的度数求出cosB的值，再由b与c的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键本题a有两解，注意不要漏解4.【答案】B【解析】解：依题意，S6=12，解得a3+a4=4，故选：B将S6转化为用a3和a4表达的算式，即可得到a3+a4的值本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了等差中项的性质，主要体现了方程思想和整体思想，本题属于基础题5.【答案】D【解析】解：由正弦定理可知，sinA：sinB：sinC=a：b：c=4：3：2，可设a=4k，b=3k，c=2k，k0，由余弦定理可得，cosA=-故选：D由正弦定理可知sinA：sinB：sinC=a：b：c=4：3：2，可设a=4k，b=3k，c=2k，由余弦定理可得cosA的值本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，属于基础试题6.【答案】B【解析】解：由等比数列的性质可得：S5，S10-S5，S15-S10（各项不为0）成等比数列，不妨设S5=1，由，可得S10=5（5-1）2=1（S15-5），解得S15=21，则=故选：B由等比数列的性质可得：S5，S10-S5，S15-S10（各项不为0）成等比数列，即可得出本题考查了等比数列的前n项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7.【答案】C【解析】解：设ABC的三条边分别为a、b、c，三角形面积为，所以，整理得tanC=1由于0C，所以C=故选：C直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型8.【答案】C【解析】解：a5+a8=2，a6a7=-8，a5a8=-8，解得a5=4，a8=-2，或a5=-2，a8=4当a5=4，a8=-2，q3=-，a2+a11=a5q-3+a8q3=4-2=-7，当a5=-2，a8=4q3=-2a2+a11=a5q-3+a8q3=-2（）+4（-2）=-7故选：C通过已知条件求出a5，a8，求出公比，求出a7，然后求解a2+a11的值本题考查等比数列的通项公式的应用，考查计算能力9.【答案】C【解析】解：等差数列an中，S160，S170，a1+a16=a8+a90，a1+a17=2a90，a80，a90，a10，d0，则当n=8时Sn取最小值S8故选：C由已知结合等差数列的求和公式可得，a1+a16=a8+a90，a1+a17=2a90，从而可得a80，a90，即可判断本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题10.【答案】A【解析】解：变量x、y满足的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=-x+，则为直线2x+3y-z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大，作直线l：2x+3y=0，把直线向上平移可得过点A时2x+3y最大，由可得x=1，y=3，此时z=11故选：A先画出满足约束条件的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键11.【答案】C【解析】解：由，得sinAsinC=，则2sinAsinC=1+cosB=1-cos（A+C）=1-cosAcosC+sinAsinC，cosAcosC+sinAsinC=1，即cos（A-C）=1-A-C，A-C=0，得A=CABC是等腰三角形故选：C利用倍角公式降幂，再把B用A和C表示，然后利用两角和与差的余弦变形求解本题考查三角形的形状判断，考查三角函数的恒等变换应用，是基础题12.【答案】A【解析】解：x0，y0且x+y=1，=（）（x+y）=5+=5，当且仅当且x+y=1即x=3，y=时取等号，=即最小值是故选：A由已知可得=（）（x+y）=5+，利用基本不等式可求最值本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行1的代换进行应用条件的配凑，属于基础试题13.【答案】15【解析】解：由等比数列的性质可得：a1a10=a2a9=a5a6，由对数的运算性质可知：log3a1+log3a2+log3a10=log3（a1a2a10）=log3（27）5=log3（3）15=15，故答案为：15由等比数列的性质及对数的运算性质可知：log3a1+log3a2+log3a10=log3（a1a2a10）=log3（3）15=15本题考查对数的运算性质，等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题14.【答案】0，4）【解析】解：由题意，mx2-mx+10恒成立，当m=0时，10，显然恒成立，当m0时，要使mx2-mx+10恒成立，则，解得0m4，综上，实数m的取值范围为0，4）故答案为：0，4）由题意，mx2-mx+10恒成立，分m=0及m0两种情况讨论即可本题考查不等式的恒成立问题，考查不等式的解法及转化思想，属于基础题15.【答案】an=【解析】解：数列an的前n项和，a1=S1=2-4=-2，n2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1an的通项公式是an=故答案为：an=a1=S1=2-4=-2，n2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1由此能求出an的通项公式本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式和数列的前n项和的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16.【答案】【解析】解：分两种情况来做，当x为最大边时，由余弦定理可知只要22+32-x20即可，可解得当x不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角就可以了，则有22+x2-320，可解得所以综上可知x的取值范围为，故答案为分两种情况来做，当x为最大边时，只要保证x所对的角为锐角就可以了；当x不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角就可以了本题考查余弦定理得运用，应注意分类讨论17.【答案】解：，x0，当且仅当，即即x=时，等号成立，此时【解析】利用基本不等式即可得出f（x）的最大值及其对应的x的值本题考查了基本不等式与函数最值的计算，属于基础题18.【答案】解：（1） C=120 （2）由题设： AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC=a2+b2-2abcos120 = 【解析】（1）根据三角形内角和可知cosC=cos-（A+B）进而根据题设条件求得cosC，则C可求（2）根据韦达定理可知a+b和ab的值，进而利用余弦定理求得AB本题主要考查了余弦定理的应用考查了学生综合分析问题和函数思想，化归思想的应用19.【答案】解：（1）设数列an的公差为d则a3=a4-d=10-d，a6=a4+2d=10+2d，a10=a4+6d=10+6d由a3，a6，a10成等比数列，得即（10-d）（10+6d）=（10+2d）2，整理得10d2-10d=0，解得d=1或d=0（舍），a4=10，d=1，a1=7所以，an=a1+（n-1）d=n+6（2），当n=1时，b1=2；当n2时，故数列bn是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，【解析】（1）利用等差数列以及等比数列关系，求出公差，然后求解数列的通项公式（2）化简数列的通项公式，判断数列是等比数列，然后求解数列的和本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和，考查计算能力，是中档题20.【答案】解：（）ABC中，由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，即a2=b2+c2+bc由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA，故cosA=-，A=120（）由（）得：sinB+sinC=sinB+sin（60-B）=cosB+sinB=sin（B+60）因为0B60，所以，60B+60120，sin（B+60）1，故sinB +sinC的取值范围是（，1【解析】（）ABC中，由已知，根据正弦定理得a2=b2+c2+bc，再由余弦定理求得cosA=-，A=120（）由（）得：sinB+sinC=sin（B+60），根据60B+60120，求得sin（B+60）1，从而求得sinB+sinC的取值范围本题主要考查正弦定理、余弦定理，两角和差的正公式的应用，属于中档题21.【答案】解：（）当a=1时，f（x）3x+2可化为|x-1|2由此可得x3或x-1故不等式f（x）3x+2的解集为x|x3或x-1（）由f（x）0得|x-a|+3x0此不等式化为不等式组或即或因为a0，所以不等式组的解集为x|x由题设可得-=-1，故a=2【解析】（）当a=1时，f（x）3x+2可化为|x-1|2直接求出不等式f（x）3x+2的解集即可（）由f（x）0得|x-a|+3x0分xa和xa推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型22.【答案】解：（1）当n=1时，a1=S1=1当n2时，an=Sn-Sn-1=n2-4n+4-（n-1）2-4（n-1）+4=2n-5.a1=1不