重庆市南开中学2020学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）

重庆市南开中学2020学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若抛物线的焦点为，则的值为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的焦点坐标为，即可求出的值.【详解】因为抛物线的焦点为，所以，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.2.若一个椭圆的短轴长和焦距相等，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，可得，再根据列式可得结果.【详解】因为椭圆的短轴长和焦距相等，所以，故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解3.以下各点在圆 内的是（ ）A. (0,1)B. (1,0)C. (3,1)D. (1,3)【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合点与圆位置关系的判定方法，依次分析选项，综合即可得答案【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，对于（0，1），有4，点在圆外，不符合题意；对于B，对于（1，0），有4，点在圆外，不符合题意；对于C，对于（3，1），有4，点在圆内，符合题意；对于D，对于（1，3），有4，点在圆外，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查点与圆的位置关系，关键是分析点与圆关系的判定，属于基础题4.已知点在抛物线的准线上，其焦点为，则直线的斜率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由点在抛物线的准线上，求出抛物线方程,得到焦点坐标，然后求解直线的斜率即可.【详解】点在抛物线的准线上，即，可得，所以抛物线方程为，焦点坐标,直线的斜率是 ，故选D.【点睛】本题主要考查拋物线的方程以及抛物线的简单性质的应用，属于简单题. 抛物线的准线方程为，焦点坐标为.5.以下命题正确的是（ ）A. 若直线，则直线a，b异面B. 空间内任意三点可以确定一个平面C. 空间四点共面，则其中必有三点共线D. 直线，则直线a，b异面【答案】D【解析】【分析】由两平面内的直线可平行、相交或异面，可判断A是错误的；由公理3可判断B是错误的；由四点共面可以其中三点不共线，可判断C是错误的；运用异面直线的判定定理即可判断D是正确的【详解】对于A，若直线a，b，=l，则直线a，b平行、相交或异面，故A错；对于B，空间内不共线三点可以确定一个平面，故B错；对于C，空间四点共面，则其中三点可以不共线，故C错；对于D，若直线a，Aa，由异面直线的判定定理可得直线a，b异面，故D对故选：D【点睛】本题考查空间线线的位置关系的判断和平面的基本性质，考查推理能力，属于基础题6.方程表示椭圆，则双曲线的焦点坐标（ ）A. B. ）C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的方程求出的范围，然后判断双曲线焦点位置，从而可求解双曲线的焦点坐标.【详解】因为方程表示椭圆，所以可得，可得，所以双曲线的焦点在轴上， ，焦点坐标，故选A .【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及双曲线的标准方程与简单性质的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7.已知圆：，则过点（1，2）作该圆的切线方程为（ ）A. x+4y-4=0B. 2x+y-5=0C. x=2D. x+y-3=0【答案】D【解析】【分析】根据题意，设圆：的圆心为M，且M（0，1），点N（1，2），分析可得点（1，2）在圆上，则过点N的切线有且只有1条；求出MN的斜率，即可得切线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案【详解】根据题意，设圆：的圆心为M，且M（0，1），点N（1，2），有，则点N在圆上，则过点N的切线有且只有1条；则，则过点（1，2）作该圆的切线的斜率k=-1，切线的方程为y-2=-（x-1），变形可得x+y-3=0，故选：D【点睛】本题考查圆的切线方程，注意分析点与圆的位置关系，属于基础题8.过双曲线右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，原点为O，则OPF的面积为（ ）A. 2B. 3C. 6D. 12【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，右焦点坐标，利用已知条件转化求解三角形的面积即可【详解】双曲线右焦点F（5，0），过双曲线右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，则PF=b=4，则OPF的面积为：故选：C【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查9.抛物线上一点到焦点的距离等于，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以的横坐标为，代入抛物线方程，得，即，所以.考点：抛物线【思路点晴】根据抛物线的定义，有“抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离”.解决有关圆锥曲线的问题，往往需要联系圆锥曲线的定义.如椭圆的定义为“椭圆上的点，到两个焦点的距离之和为常数”，双曲线的定义为“椭圆上的点，到两个焦点的距离之和为常数”.要求过两点的直线的斜率，先求出这两个点的坐标，然后代入斜率公式来求解.10.已知点为双曲线 右支上一点，分别为左右焦点，若双曲线的离心率为，的内切圆圆心为，半径为2，若，则的值是（ ）A. 2B. C. D. 6【答案】C【解析】【分析】利用的内切圆圆心为，半径为2 ，由，结合双曲线的定义求出,通过离心率求出，然后求解即可.【详解】点为双曲线右支上一点,分别为左右焦点,的内切圆圆心为,半径为2 ,因为，所以，可得，即，双曲线的离心率为，可得,则，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率以及双曲线的几何性质，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.11.已知点A（2，0），O（0，0），若抛物线C：（p0）上存在两个不同的点M，使得OMAM，则p的取值范围（ ）A. (0,)B. (0,1)C. (0,2)D. (1,+)【答案】A【解析】【分析】求出以OA为直径的圆的方程与抛物线联立，利用判别式转化求解即可【详解】点A（2，0），O（0，0），若抛物线C：（p0）上存在两个不同的点M，使得OMAM，可知以OA为直径的圆的方程与抛物线有两个交点可得：，所以，可得x=0或x=1-2p0，解得，故选：A【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力12.直线过椭圆：（a0，b0）的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若，POQ=120，则椭圆离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质结合求出直线的斜率，再根据的坐标得出直线的斜率，从而得出的关系，进而求出椭圆的离心率.【详解】椭圆的焦点在轴上，,，故直线的方程为，即，直线（即）的斜率为， 过作垂线，则为的中点，是的中点，直线的斜率，不妨令，则，椭圆的离心率，故选D.【点睛】本题主要考查直线的斜率、圆的性质以及椭圆的离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知P是椭圆上一点，为椭圆的两焦点，则P 的周长为_【答案】6【解析】分析】由椭圆方程确定椭圆中的，由椭圆的定义可知周长为，从而可得的周长.【详解】椭圆中，椭圆的定义可知周长为周长为，故答案为6 .【点睛】本题主要考查椭圆的方程与简单性质、椭圆的定义等基础知识，属于基础题.解答与椭圆焦点有关的试题时往往用到椭圆的定义：.14.已知两圆与，则它们的公共弦所在直线方程为_.【答案】 【解析】【分析】对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程.【详解】因为与相交，两圆的方程作差得，所以公共弦所在直线方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，两圆公共弦所在直线方程的求法，属于基础题. 若与相交，则两圆公共弦所在直线方程为两圆方程的差.15.已知点M（4，2），F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，当|PM|+|PF|最小时，点P的坐标为_【答案】（2，2）【解析】【分析】设直线l为抛物线的准线，其方程为：x=-，过点P作PAl，垂足为A点，则|PA|=|PF|，当三点A，P，M共线时，|PM|+|PF|取得最小值|AM|，进而得解【详解】如图所示，设直线l为抛物线的准线，其方程为：x=-，过点P作PAl，垂足为A点，则|PA|=|PF|，当三点A，P，M共线时，当|PM|+|PF|取得最小值|AM|，|AM|=4-（-）=把y=2代入抛物线方程可得：，解得x=2P（2，2）故答案为：（2，2）【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16.直线l过M（-1，0）交抛物线于A，B，抛物线焦点为F，|BF|=|BM|，则AB中点到抛物线准线的距离为_【答案】6【解析】【分析】由题意画出图形，结合已知求得直线的斜率，由直线方程与抛物线方程联立可得AB中点的横坐标，则答案可求【详解】如图，由抛物线，得焦点F（1，0），直线方程为x=-1过B作准线的垂线BG，|BF|=|BM|，|BG|=|BM|，则BMF=30直线l的斜率为，可得直线l的方程为y=（x+1），联立，可得设，则，即AB中点横坐标为5AB中点到抛物线准线的距离为5-（-1）=6故答案为：6【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知一个圆经过坐标原点和点（2，0），且圆心C在直线y=2x上（1）求圆C的方程；（2）过点P（-2，2）作圆C的切线PA和PB，求直线PA和PB的方程【答案】（1）（2）y-2=（x+2）【解析】【分析】（1）根据题意，设圆心C的坐标为（m，2m），又由圆经过坐标原点和点（2，0），则有，解可得m的值，进而计算r的值，由圆的标准方程的形式分析的答案；（2）根据题意，分析可得PA、PB的斜率都存在，设切线的方程为y-2=k（x+2），由直线与圆的位置关系分析可得，解可得k的值，代入直线的方程，分析可得答案【详解】（1）根据题意，设圆心C的坐标为（m，2m），又由圆经过坐标原点和点（2，0），则有，解可得：m=1，则圆心的坐标为（1，2），半径，则圆的方程为：；（2）由（1）的结论，圆C的方程为：；过点P（-2，2）作圆C的切线PA和PB，则PA、PB的斜率都存在，设切线的方程为y-2=k（x+2），即y-kx-2k-2=0，则有，解可得：，则直线PA和PB方程为y-2=（x+2）【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，关键是求出圆C的方程，属于基础题18.如图，棱长为2的正方体中，已知点分别是棱的中点（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求异面直线和所成角的余弦值【答案】(1) （2）【解析】分析】(1)连接，可得为异面直线与所成角，由为等边三角形得结果；(2)连接，则为异面直线和所成角，由正方形的性质求解的三边长，再由余弦定理求解即可.【详解】（1）连接，则，可得为异面直线与所成角， 连接，可知为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为.(2)连接，由三角形中位线定理可得，则为异面直线和所成角，由正方体的棱长为2，可得，异面直线和所成角的余弦值为.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.19.已知直线与双曲线（1）当时，直线与双曲线的一渐近线交于点，求点到另一渐近线的距离；（2）若直线与双曲线交于两点，若，求的值【答案】（1）； （2）或.【解析】【分析】（1）写出双曲线渐近线方程，渐近线方程与直线方程联立可求得，利用点到直线距离公式即可得结果；（2）直接联立直线与双曲线方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数关系求得两交点的横坐标的和与积，由弦长公式列方程求解即可.【详解】（1）双曲线渐近线方程为由得则到的距离为；（2）联立方程组，消去得直线与双曲线有两个交点，解得且，（且）.，解得，或，.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程、点到直线距离公式以及弦长公式的应用，属于中档题.求曲线的弦长的方法：（1）利用弦长公式；（2）利用；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.20.已知椭圆E：的右焦点为，离心率为，过作与x轴垂直的直线与椭圆交于P，Q点，若|PQ|=（1）求椭圆E的方程；（2）设过的直线l的斜率存在且不为0，直线l交椭圆于A，B两点，若以AB为直径的圆过椭圆左焦点，求直线l的方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，又，解得即可.（2）设A，B，直线l的方程为x=my+2，代入椭圆方程可得，根据韦达定理和向量的运算即可求出m的值，可得直线方程.【详解】（1）由，过作与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，|PQ|=又，由解得，c=2，椭圆方程为（2）设A，B，直线l的方程为x=my+2，代入椭圆方程可得，F（-2，0），以AB为直径的圆过椭圆左焦点，解得=23，即故直线l的方程为【点睛】本题考查了椭圆的方程，以及椭圆的简单性质和韦达定理和向量的数量积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21.已知椭圆的左右焦点分别为，对于椭圆上任一点，若的取值范围是（1）求椭圆的方程；（2）对于动点，过点垂直于的直线与椭圆交于，求的最小值【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】（1）由椭圆中的取值范围是，结合的取值范围是可得，利用，即可求出椭圆的方程；（2）可设垂直于的直线的方程为，联立，利用根与系数的关系以及弦长公式可得，又，可得 ，换元后利用基本不等式即可求得最小值.【详解】(1)椭圆中的取值范围是，的取值范围是，椭圆的方程为：.（2）垂直于的直线的方程为：，联立，可得.又，.即当，时，的最小值为.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，