高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 二 平行线分线段成比例定理教材梳理素材 新人教A版选修4-1（通用）

三 相似三角形的判定及性质庖丁巧解牛知识巧学一、平行线分线段成比例定理1.定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.2.用符号语言表示:如图1-2-1所示，abc,则.图1-2-13.定理的证明：若是有理数，则将AB、BC分成相等的线段，把问题转化为平行线等分线段，达到证明的目的，再推广到整个实数范围，其完整的推广过程等学到高等数学时才会实现.4.定理的条件:与平行线等分线段定理相同，它需要a、b、c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截.平行线的条数还可以更多.知识拓展对于3条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图121):如果已知是abc，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如等.记忆要诀 对于平行线分线段成比例定理，可以归纳为等，便于记忆.二、平行线分线段成比例定理的推论1.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.2.符号语言表示:如图1-2-2所示，abc,则(1) （2）图1-2-23.推论的证明：直接利用平行线分线段成比例定理，应当注意的是一定要将线段对应好.误区警示实际应用时，通常图形中不会出现三条平行线，此时要注意正确识别图形，如图123.图1-2-3问题探究问题1 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行线分线段成比例定理？思路:从两个定理的条件和结论两方面进行对比，可以找到它们的共同点和区别点.探究:我们学习的平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(如图1-2-4，若l1l2l3，ABBC，则DE=EF) .图1-2-4 图1-2-5平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图1-2-5,若l1l2l3,则.比较这两个定理可知:当截得的对应线段成比例,比值为1时,则截得的线段相等,即当=1时,则有AB=BC,DE=EF,因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充,而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例.平行线等分线段定理是证明线段相等的依据,而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的途径.在使用平行线分线段成比例定理时,要特别注意“对应”的问题，如图1-2-5中的线段AB、BC、AC的对应线段分别是DE、EF、DF.由平行线分线段成比例定理有.根据比例的性质,还可以得到,.为了掌握对应关系，可根据对应线段的相对位置特征，把说成是“上比全等于上比全”，把说成是“左比右等于左比右”，使用这种形象化语言，不仅能够按要求或需要准确地写出比例式，而且也容易检查比例式是否正确.问题2 证明线段相等的问题较常见，而证题的方法随着所学知识的不断积累也逐渐增多.那么证明线段相等通常有哪些方法？我们现在学习的平行线分线段成比例定理及推论能发挥什么作用？思路:从学过的所有涉及线段相等的结论进行总结.探究:根据题设的不同，证明线段相等可以利用全等三角形的对应线段相等；等腰三角形、等腰梯形的两腰相等；平行四边形的对边相等，对角线互相平分；正方形、矩形、等腰梯形的对角线相等；关于直线成轴对称或关于点成中心对称的线段相等，以及线段的垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理等等.现在学了线段成比例的有关定理，也常用来证两线段相等，其方法是利用条件中有的(或添作的)平行线或相似三角形，列出几组比例式进行比较而得出.典题热题例1如图1-2-6所示，A=E，=，BD=8，求BC的长.图1-2-6思路分析：要求BC，由于BC和BD是对应线段，因此只要得出ACDE即可.解：A=E，ACDE.(平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线所得的对应线段成比例).=.BC=4.误区警示 在列比例式求某线段的长时，应尽可能将需求的线段写成比例式第一项，以减少比例变形，减少错误.例2如图1-2-7所示，DEBC，EFDC，求证:AD2=AFAB.图1-2-7思路分析：要证AD2=AFAB，只要证，由于AF、AD、AB在同一直线上，因此上式不能直接用定理证，于是想到用过渡比.从基本图形“A”型中立即可找到过渡比为.证明：DEBC，(平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例).EFDC,.,即AD2=AFAB.深化升华 等积式常常转化为比例式证明，要善于从复杂图形中识别出基本图形中的公共部分(即)，它往往是构成证明中的过渡比.例3如图1-2-8所示，已知直线FD和ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BD=DC，求证:AEFB=ECFA.图1-2-8思路分析：本题只要证即可.由于与没有直接联系，因此必须寻找过渡比将它们联系起来，因此考虑添加平行线进行构造.证明：过A作AGBC，交DF于G点.AGBD,=.又BD=DC,=.AGBD,=.=,即AEFB=ECFA.变式方法 本题过点A还有一种方式作平行线构造基本图形，过B、C都有两种方式作平行线构造基本图形.例4如图1-2-9，已知AD是ABC的内角平分线,求证:.图1-2-9思路分析：AB、AC不在同一直线上，而BD和CD在同一直线上.在同一直线上的两条线段的比往往和平行线有关，所以我们考虑不妨作一条平行线.证明：过点C作CEAD，交BA的延长线于点E,ADEC,又E=BAD,CAD=ACE,BAD=CAD,E=ACE.AC=AE.深化升华 此题是三角形的内角平分线定理，即三角形的内角平分线分对边成两条线段与夹这个角的两边对应成比例.例5某同学的身高1.60米，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长2米，求这个路灯的高？图1-2-10思路分析：结合光的直线传播，建立如图1-2-10所示的三角形，根据人体与路灯杆平行将题目转化为成比例线段，代入数值可以获得结果.解：如图1-2-10，AB表示同学的身高，CD表示路灯的高.ABCD,CD=4.8(米).答:路灯高为4.8米.例6如图1-2-11，从RtABC的两直角边AB、AC向三角形外作正方形ABFG及ACDE，CF、BD分别交AB、AC于P、Q点，求证:AP=AQ.图1-2-11证明：ABGF,ACED，,即AP=,AQ=.CA=ED,GF=BA,CG=BE,AP=AQ.例7如图1-2-12，四边形ABCD中，AC、BD交于O，过O作AB的平行线，与AD、BC分别交于E、F，与CD的延长线交于K，求证:KO2=KEKF.图1-2-12思路分析：KO、KE、KF在一条直线上，要证明KO2=KEKF，即要证，显然要寻找中间比，现有图形无法将线段KO、KE、KF与平行线分线段成比例定理及其推论联系起来，若延长CK、BA，设它们交于H，则图形中出现如上题所说的两个基本图形