高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 充要条件中的易错点素材 北师大版选修2-1（通用）

关注充要条件中的易错点判断一个命题的充要条件，首先要分清命题的条件和结论若条件结论为充分性，若结论条件为必要性处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，或用集合显示其关系，或用等价命题推理和判断而在实际应用中，由于概念之间的模糊性和应用上的不准确性，经常造成一些不必要的错误。下面结合实际加以导析。一充分条件与必要条件的应用充分条件和必要条件的应用在解题时往往产生混淆性错误，出错原因有两个：一个是对定义理解不够深刻。比如说：p是q的充分条件，我们也可以说成q是p的必要条件。它们都是表述相同的关系，只是换个说法而已；另一个是对数学中的文字语言把握不好。比如说：p是q的充分条件，我们也可以说成q的充分条件是p。根据经验，有的同学对后一种说法不注意或不理解。在解题中，我们一方面只要牢牢抓住记忆口诀：“推出”即“充分”，“被推出”即“必要”，“推不出”就是“不充分”，“不被推出”就是“不必要”就可以解决第一个错误；另一方面，在解题中，把题目所给出的形式还原成定义形式（p是q的条件），可使问题豁然开朗。例1写出命题“”的一个充分不必要条件是_。错解：命题“”的一个充分不必要条件是：（或任意填写一个不等式：，为大于2的任一实数）。剖析：错解的根源在于没有分清条件与结论之间的关系。若命题p的一个充分不必要条件是命题q，那么有qp。也就是命题“”是结论，我们要填的是条件。正解：命题“”的一个充分不必要条件是：（或任意填写一个不等式：，为小于2的任一实数）。二充要条件的判断对于充要条件判断出错常常在于方法应用不够灵活，在解题时熟练运用以下几种方法即可减少失误：（1）定义法：直接利用定义进行判断；（2）逆否法（等价法）：“pq”表示p等价于q。要证pq，只需证它的逆否命题非q非p即可，同理要证pq，只需证非q非p即可，所以pq，只需非q非p。（3）利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若pq，则p是q的充分条件；若pq，则p是q的充分不必要条件；若p=q，则p是q的充要条件，尤其对于数的集合，可以利用小范围的数一定在大范围中，即小大，会给我们的解答带来意想不到的惊喜。（4）举反例：要说明p是q的不充分条件，只要找到，但即可。例2下列各组命题中，满足p是q的充要条件的有。p：；q：； p：或；q：；已知，p：；q：且；在ABC中，p：BCAC；q：cosAcosB。错解：填入答案：、。剖析：错解的根源在于判断方法的不够灵活与正确。中出错在于对“或”的理解，p包括三种情况：且；且；且；中出错在于对绝对值不等式的化简。正解：填入答案：。三充要条件的证明证明p是q的充要条件的论述格式要求严格，需从pq（充分性）和pq（必要性）两方面进行论证。一般情况下，在论证时会出现以下两种错误：一是忽视步骤，两个步骤合为一个；二是分不清充分性、必要性。在解题时要求我们把题目的形式还原成定义形式，然后再加以论证。如果不注意，很容易把充分性和必要性混淆。例3求证：方程（不同时为零）有一个根是1的充要条件是。错解：即要证明有一个根是1，充分性：有一个根是1，把代入方程，即得，所以充分性成立；必要性：有一个根是1，因为，所以，代入整理可得，此方程有一个根是1，所以必要性成立；综上可得原命题成立。剖析：错解的根源在于分不清充分性、必要性。只知分两步证明，但没有具体分清。解题时最好还原成定义形式，再加以证明。正解：充分性：有