高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程素材2 新人教B版选修2-1（通用）

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程课堂导学三点剖析一、直线的方向向量【例1】 已知点A(1,3,0),B(2,4,3)以的方向为正向,建立数轴,试求点P,使得 =13.思路分析：求点P,不妨先设P(x,y,z)再利用条件构造等式.解：设P(x,y,z)，由已知=3，=3()，4=+3，=+，(x,y,z)=(2,4,3)+(1,3,0)=(,).x=,y=,z=,即点P(,).温馨提示求一点坐标,通常先设出点,再寻找条件等式或构造方程组求解.二、平行与垂直【例2】已知三棱锥OABC中，OA=OB=1，OC=2，OA，OB，OC两两垂直，如何找出一点D，使BDAC，DCAB？思路分析:首先建立空间直角坐标系，利用点的坐标来解决平行问题.解：建立如下图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).由BDAC,DCAB,因此即D点的坐标为(-1,1,2).温馨提示将线(或线段)的关系转化为向量关系,再过渡到空间直角坐标系中来是求解的关键.三、角和距离问题【例3】 如下图,SA面ABC,ABBC,SA=AB=BC,求异面直线SC与AB所成角的余弦值.思路分析:可先建立空间直角坐标系,利用点的坐标求余弦值.将几何问题代数化.解:以点A为坐标原点,AC为y轴的正向建立空间直角坐标系.设SA=AB=BC=a,则B(a,a,0),C(0,a,0),S(0,0,a)那么AB=(a,a,0),=(0,-a).由cos,=.故SC与AB所成角的余弦值为.温馨提示在求解有关角或距离的问题时,根据条件合理建立空间直角坐标系是求解的关键.各个击破类题演练 1已知A(1,1,0),B(2,2,3),且=,求点C坐标.解析:设C(x,y,z).由=,得=,=+,(x,y,z)=(1,1,0)+(2,2,3)=(,3),C(,3).变式提升 1已知梯形ABCD中,ABCD,其中A(1,1,2),B(2,3,4),若C点(0,1,1),D点为(2,x,y),试求D点坐标.解析:=(1,2,2),=(2,x-1,y-1),则.得x=5,y=5.D点坐标为(2,5,5).类题演练 2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=，确定P、Q的位置，使得QB1PD1.解析：(1)建立如右图所示的空间直角坐标系,设BP=t,得CQ=,DQ=2，那么B1(2,0,2),D1(0,2,2),P(2,t,0),Q(2,2,0).从而=(,-2,2),=(-2,2-t,2).由QB1PD1=0，即-2(2-t)+4=0t=1.故P、Q分别为BC、CD的中点时，QB1PD1；变式提升 2棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点.求证：EFCF.证明:建立空间直角坐标系Oxyz,则D（0，0，0）,E(0,0,),F(,0),G(1,1,),C(0,1,0),=(,-),=(,-,0),=+()+0=0.CFEF.类题演练 3知边长为4的正方形ABCD所在平面外一点P与正方形的中心O的连线PO垂直于平面ABCD,且PO=6,求PO的中点M到PBC的重心N的距离.解：建立如右图所示的空间直角坐标系，则B（2，2，0），C（-2，2，0），P（0，0，6）,由题意得M（0，0，3），N（0，2）.于是|MN|=.故M到PBC的重心N的距离为.变式提升 3正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点.(