高中数学 第三章 推理与证明 3.4 反证法知识导航素材 北师大版选修1-2（通用）_第1页
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3.4 反证法自主整理在证明数学命题时,要证明的结论要么_,要么_,二者必居其一,我们可以先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与_、_、_矛盾,或与命题中的_相矛盾,或与_相矛盾,从而断定命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立,这种证明方法叫作_.高手笔记1.反证法的证题步骤是:(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出矛盾;(3否定假设,肯定结论.2.宜用反证法证明的题型:一些基本命题、基本定理;易导出与已知矛盾的命题;“否定性”命题;“唯一性”命题;“必然性”命题;“至多”“至少”类的命题;涉及“无限”结论的命题等等.名师解惑反证法的过程及依据是什么?剖析:用反证法证明结论是B的命题,其思路是:假定B不成立,则B的反面成立.然后从B的反面成立的假定出发,利用一些公理、定理、定义等作出一系列正确的推理,最后推出矛盾的结果.若同时承认这个结果与题设条件,则与学过的公理、定理或定义矛盾,这矛盾只能来自“B的反面成立”这个假设,因此B必成立.其中推出矛盾是关键,用反证法证明的依据是互为逆否命题的等价性,即“若p则q”等价于“若q则p”成立，即要证原命题成立，只需证逆否命题成立.注意“q”是q的非命题，要全部否定，如“都是”的反面为“不都是”而不是“都不是”.讲练互动【例1】已知a0,b0,且a+b2,求证:、中至少有一个小于2.分析：已知条件较少,结论有三种情况,反面只占一种情况,故联想从结论的反面入手,用反证法.证明：假设,都不小于2，则2,2.a0,b0,1+b2a,1+a2b.1+1+a+b2a+2b.a+b2，这与已知a+b2矛盾.假设不成立.,中至少有一个小于2.绿色通道对于“至多”“至少”问题常用反证法，注意要全部否定.变式训练1.已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.证明:假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,则p2-q.p3(2-q)3.p3+q3=2，2=p3+q3(2-q)3+q3=8-12q+6q2-q3+q3=8-12q+6q2=6(q-1)2+22，22与事实矛盾.假设不成立.p+q2成立.绿色通道在已知次数较高,所证次数较低时,正面解答不易,可用反证法.变式训练3.若ab0,n为正整数且n2,求证:.证明:假设0,()n()n.ab与ab矛盾.假设不成立.成立.【例4】若下列方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,试求实数a的取值范围.分析：本题的条件出现多样性和不定性,但反面只有一种情况,可从反面入手解答.解：设三个方程都无实根,则有解得即
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