高中数学 第三章 导数应用 3.1 函数的单调性与极值 3.1.2 函数的极值教材基础素材 北师大版选修2-2（通用）

1.2 函数的极值伴随着社会进步和生产力的不断发展,在工程技术,科学研究,经济活动分析诸多领域都提出了大量最优化问题.这些问题的本质特征是:在一定的投入水平下,如何寻求最大的效益；或在设定的效益水平下,如何降低投入.刻画这类问题的数学语言是:对于变量之间的函数,当自变量取何值时,函数变量的值能达到相对的最大或最小.这就是函数的极值,本节课就要学习如何利用导数求函数的极值.高手支招1细品教材一、函数的极值状元笔记极大值点与极小值点可以同时存在着若干个或一个都不存在;并且极大值点并不一定比极小值点的极值大.1.极大值与极小值(1)极大值:一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对于x0附近的所有的点,都有f(x)f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点.(2)极小值:一般地,设函数f(x)在x0附近有定义,如果对于x0附近的所有的点,都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0),x0是极小值点.2.极值极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.【示例1】 对于导函数f(x)存在的函数f(x)上的点,在一点两侧的导数异号是这点为极值点的（ ）A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件思路分析:由极大、极小值的判别方法可以知道是充要条件.由极大值点的定义,对任意xx0,f(x)f(x0).所以左侧是增函数,所以f(x)0;对任意xx0,f(x)f(x0).右侧是减函数,所以f(x)0,所以x0两侧的导数异号,当x0是极小值点时,同样可以证明.答案:C【示例2】函数f(x)=asinx+sin3x在x=处有极值,求a的值.思路分析:f(x)在x=处有极值,根据一点是极值点的必要条件可知,f()=0,可求出a的值.解:f(x)=(asinx+sin3x)=acosx+cos3x,f()=0,acos+cos(3)=0,a-1=0,a=2.二、利用导数判断函数的极值状元笔记若x0为f(x)的极值点,则f(x0)=0.反之,导数为零的点不一定为极值点.因此导数为零仅是该点为极值点的必要条件.1.当函数f(x)在点x0处的导数f(x)存在时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么,f(x0)是极小值.2.当f(x)存在时，求函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间,求导数f(x).(2)求方程f(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间,并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.状元笔记f(x)在x0处的导数为0是f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件.【示例】求函数y=x4x2-1的极值.思路分析:利用求极值的一般方法步骤.解:y=x3-x,令y=0,得x1=-1,x2=0,x3=1.将x、y及在相应区间上y的符号关系列表如下:X(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y-0+0-0+y极小值极大值-1极小值 所以当x=-1时,函数有极小值;当x=0时,函数有极大值-1;当x=1时,函数有极小值.高手支招2基础整理本节学习了函数的极大值、极小值的定义、判别方法以及求可导函数f(x)的极值的三个步骤.要弄清函数的极值是就函数在某一点附近