高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量素材 新人教B版选修2-1（通用）

3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量课堂探究探究一 用定义法求直线与平面所成的角利用定义法求直线与平面所成的角，首先要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角，然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小其基本步骤可归纳为“一作，二证，三计算”【典型例题1】 在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，连接CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值思路分析：在求解斜线和平面所成的角时，确定斜线在平面内的射影的位置是一个既基本又重要的问题解：如图，过A，E分别作AO平面BCD，EG平面BCD，O，G为垂足则AOGE，AO2GE.连接GC，则ECG为EC和平面BCD所成的角因为ABACAD，所以OBOCOD.因为BCD是正三角形，所以O为BCD的中心连接DO并延长交BC于F，则F为BC的中点令正四面体ABCD的棱长为1，可求得CE，DF，OD，则AO，所以EG.在RtECG中，sinECG.归纳找射影的两种方法：(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；(2)利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影探究二 向量法求直线与平面所成的角利用向量法求直线与平面所成角的优势在于不用找角，只需求出直线的方向向量和平面的法向量，再用公式求解即可，其基本步骤为：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量s和平面的法向量n；(3)设线面角为，由sin 得出的值，需注意的是的范围是.【典型例题2】 如图所示，在直三棱柱ABOA1B1O1中，OO14，OA4，OB3，AOB90.D是线段A1B1的中点P是侧棱BB1上的一点，若BDOP，求OP与底面AOB所成角的大小(结果用反三角函数值表示)思路分析：由于题中所给图形是直三棱柱，可建立空间直角坐标系，利用向量法求解解：如图所示，以O点为原点，为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系由题意有O(0,0,0)，B(3,0,0)，D，B1(3,0,4)设P(3,0，z)，则，(3,0，z)因为BDOP，所以4z0，所以z.因为平面PBO平面ABO，所以OB为OP在平面ABO内的射影，所以POB为OP与平面ABO所成的角又因为BB1平面AOB，所以是平面AOB的一个法向量，且(0,0,4)，所以sinPOB|cosBPO|.所以OP与底面AOB所成的角为arcsin.探究三 定义法求二面角的大小所谓定义法，就是作出二面角的平面角，然后通过解三角形求解作出二面角的平面角常用的方法有：(1)找与二面角的棱垂直的平面与二面角两半平面的交线；(2)在二面角的一个面上取一点，利用三垂线定理作平面角；(3)在二面角的棱上取一点，分别在两个面内作出和棱垂直的射线【典型例题3】 已知在三棱锥PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC.求二面角BAPC的大小思路分析：本题可考虑利用三垂线定理作出二面角的平面角，再求解；还可考虑用射影面积公式求出二面角的大小解法一：如图，过点B作BEAC于点E，过点E作EFPA于点F，连接BF.PC平面ABC，PC平面PAC，平面PAC平面ABC.BE平面PAC.由三垂线定理有BFPA，BFE是二面角BPAC的平面角设PC1，由E是AC中点，得BE，EFsin 45，tanBFE，BFEarctan.解法二：(利用射影面积公式)如图，过点B作BEAC于点E，连接PE.PC平面ABC，平面PAC平面ABC.PAE是PAB在平面PAC上的射影设PC1，则PAPB，AB1，PAB中AB边上的高h.SPAB，又SPAESPAC.设二面角BPAC的大小为，由射影面积公式有cos ，arccos.探究四 向量法求二面角利用向量法求二面角常有如下两种方法：方法一：分别在二面角l的面，内，并且沿，延伸的方向作向量n1l，n2l，则可用n1，n2度量这个二面角的大小cosn1，n2，n1，n2的选取建立在现有图形中的已知或构图论证上方法二：通过法向量求解设m1，m2，则m1，m2与该二面角相等或互补此方法的运用适宜于：(1)在空间直角坐标系下，平面，的法向量便于确定(2)二面角的大小便于定性(锐角、钝角)从图中便于直观获得二面角为锐角或钝角(3)具体求解过程中，先求m1与m2所成锐角，cos .若二面角为锐角，则为；若二面角为钝角，则为.【典型例题4】 在底面为直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，SA平面ABCD.SAABBC1，AD，求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值思路分析：解答本题可建立空间直角坐标系，转化为求法向量的夹角解：以A为原点建立空间直角坐标系如图则D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，A(0,0,0)，(1,1，1)，.设平面SCD的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得n(1,2,1)，而是平面SAB的法向量cos，n.观察图形可知平面SCD与平面SAB所成角为锐角，其余弦值为.探究五 易错辨析易错点混淆直线的方向向量和平面法向量的夹角与线面角【典型例题5】 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点求EB与底面ABCD所成角的正弦值错解：由向量加法知()，设|1，则|1，|1，且，两两垂直，可求出|，cos，直线EB与底面ABCD所成角的正弦值