高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 空间向量及其运算教材解读素材 北师大版选修2-1（通用）_第1页
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空间向量及其运算教材解读一、空间向量及其运算1.空间向量及其加减与数乘运算（1）空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.零向量、单位向量、相反向量、相等向量、共线（平行）向量、方向向量等概念与平面向量的概念基本相同.（2）空间向量的加减与数乘运算空间向量的加法、减法与数乘运算与平面向量的运算基本相同；首尾相接的若干个向量之和，等于由起始向量的起始点指向末尾向量的终点的向量.如，等2共线向量的充要条件（1）共线向量的充要条件：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（2）空间直线的向量表过式：如果为经过已知点且平行于已知非零向量的直线，对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使在上取，则式可化为和都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定（3）利用向量之间的关系可以判断空间任意三点共线其依据是：空间三点共线3共面向量的充要条件（1）共面向理：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量注：空间任意两个向量总是共面的（2）共面向量的充要条件：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在惟一的有序实数对，使（3）空间平面的向量表示式：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有式称为平面的向量表示式由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定（4）利用向量判断四点共面其依据是：对于空间任一点和不共线的三点，满足向量关系式，且当且仅当时，四点共面（即课本第95页思考2）4空间向量的数量积运算（1）空间两个向量的夹角：已知两个非零向量在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作如果，那么向量互相垂直，记作注：（2）向量的数量积：两个非零向量的数量积（3）数量积的性质：零向量与任何向量的数量积为0，即；，即；（4）数量积的运算律：；（交换律）；（分配律）注：向量的数量积不满足结合律，即对于三个均不为零向量的向量（5）利用空间两个非零向量的数量积为零，可以推证空间线、面的垂直关系如证明三垂线定理及逆定理（课本第98页例2）、直线和平面垂直的判定定理（例3）等二、空间向量的坐标表示1空间向量基本定理（1）定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得，共中叫做空间的一个基底，都叫做基向量注：空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基成；空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来（2）单位正交基底：如果是有公共起点的三个两两垂直的单位向量，则称为空间的单位正交基底2空间向量运算的坐标表示设，则（1）空间向量的直角坐标运算，；（2）两个向量平行、垂直的充要条件
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