高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5 夹角的计算 利用空间向量求解空间的角的解题策略素材 北师大版选修2-1（通用）_第1页
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利用空间向量求解空间的角一、掌握有关的基本知识:1、设向量的夹角为,则;2、设直线的方向向量为,直线的方向向量为,与的夹角为,则;3、设平面的法向量为,直线的方向向量为,与所成的角为,则;4、设平面的法向量为,平面的法向量为,与所形成的二面角为,则(或).二、求空间角的解题思路;1、分晰清楚求什么角;2、求出题目中线的方向向量和平面的法向量;3、计算出相应的三角函数值;4、求出相应的角.例1、如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB/DC,PA底面ABCD,且PA=AD=DC=.求AC与PB所成的角的余弦值；解 以A为坐标原点,AD所在直线为轴,AB所在直线为轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(0,0,0),C(1,1,0),B(0,2,0).所以;所以; 所以AC与PB所成的角的余弦值为.评析 因规定直线与直线的夹角,两向量所成角,所以直线的方向向量所成的角可能是两直线的夹角,也可能是两直线的夹角的补角.如此题若用向量则求出的是一个钝角的余弦值,故两直线的夹角的余弦值为两向量夹角的余弦值的绝对值.例2在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,侧棱,D,E分别是与的中点,点E在平面ABD上的射影是的重心G.求与平面ABD所成角的正弦值.解:如图2,以C为坐标原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立直角坐标系,设,则 , 图2 , , , 点E在平面ABD上的射影是的重心G; 平面ABD, ,解得 . , , 平面ABD, 为平面ABD的一个法向量.由 与平面ABD所成的角的正弦值为评析 因规定直线与平面所成角,两向量所成角,所以用此法向量求出的线面角应满足.例3如图3,正三棱柱的底面边长为3,侧棱,D是CB延长线上一点,且.求二面角的大小.解 取BC的中点O,连AO.由题意 平面平面,平面,以O为原点,建立如图6所示空间直角坐标系, 图3则 , , , ,由题意 平面ABD, 为平面ABD的法向量.设 平面的法向量为 ,则 , , ,即 . 不妨设 ,由 ,得. 故所求二面角的大小为.评析（1）用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的三步曲：“找证求”直接简化成了一步曲：“计算”,这表面似乎谈化了学生的空间想象能力,但实质不然,向量法对学生的空间想象能力要求更高,也更加注重对学生创新能力的培养,体现了教育改革的精神.（2）此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题中若取时,会算得,从而所求二面角为,但依题意只为.因为二面角的大小有时为锐
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