黑龙江省绥化市第九中学2020学年高二数学上学期 空间向量与立体几何 理

空间向量与立体几何训练题集萃（含答案）一选择题：1. 下列说法中正确的是（B ）A. 若=，则，的长度相同，方向相反或相同;B. 若与是相反向量，则=;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD中，一定有.2. 已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ D）A. B. 或C. D. =3. 在四边形ABCD中，若,则四边形是（ D ）A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形4. 下列说法正确的是（ D ）A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量5.以下四个命题中正确的是（ C ）A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若, 为空间向量的一组基底，则+,+,-构成空间向量的另一组基底C.ABC为直角三角形的充要条件为=0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底6. 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，与向量模相等的向量有(C)A7个B3个C5个 D6个7.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是(D)()；()；()；().A B C D8. 对于向量、和实数，下列命题中的真命题是(B)A若0，则0或0 B若0，则0或0 C若22，则或 D若，则 9.P为正六边形ABCDEF外一点，O为ABCDEF的中心则+ + + + +等于（ C ）A. B.3 C.6 D.10. 下列说法正确的是（ A ）A.与非零向量共线,与共线，则与共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量与共线，则11. 将边长为1的正方形ABCD沿角线BD折成直二面角，若点P满足= - +,则| |的值为（ D ）A. B.2 C. D. 12.已知平行六面体，M是AC与BD交点，若，则与相等的向量是（ A ）A. ； B. ；C. ； D. . 13. 下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（ B）.A. 1 B. 2 C. 3 D. 414. 在下列命题中：若、共线，则、所在的直线平行；若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；若、三向量两两共面，则、三向量一定也共面；已知三向量、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为xyz其中正确命题的个数为 （ A ）.A0 B.1 C. 2 D. 315. 下列命题中：若，则，中至少一个为若且，则正确有个数为（ B ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个16. 已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（ C ）A. B. C. D. 17.若a，b，则是的（ A ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不不要条件18已知,与的夹角为120，则的值为（ C ）A. B. C. D. 19.若，且的夹角为钝角，则的取值范围是（ A ）A. B. C. D. 20.已知 ， 且，则（ B ）A. B. C. D. 21. 已知两非零向量e1，e2不共线，设ae1e2(、R且220)，则(D)Aae1 Bae2 Ca与e1，e2共面 D以上三种情况均有可能22正方体ABCDABCD中，向量与的夹角是(C)A30B45 C60 D9023设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AA0，AA0，AA0，则BCD是(B)A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定24.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，则AC1的长为(D)A. B. C. D.25. 已知a（2，1，3），b（1，4，2），c（7，5，），若a、b、c三向量共面，则实数=（ D ）A. B. C. D. 26 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（ A ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件27.已知ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（ B ）A2 B3 C4 D528 已知+，|2，|3，|，则向量与之间的夹角为（ C ）A30 B45 C60 D以上都不对29 .已知且与互相垂直，则的值是（D ）A. .1 B. C. D. 30.若A，B，当取最小值时，的值等于（ C ）A B C D31.空间四边形中，则的值是（D ）A B C D32.已知，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为 （ C ）(A) (B) (C) (D)二填空题：33已知,顶点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)则顶点D的坐标为_.（1，-1,2）34.ABC中，,BAC=90, A(2,1,1),B(1,1,2), C(x,0,1)则x=_235已知A(3,5,-7),B(-2,4,3),则AB在坐标平面yoz上的射影的长度为_36已知正方形ABCD的边长为1，a，b，c，则|abc|等于_37已知O是空间任一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且2x3y4z，则2x3y4z_138已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数，m，n，使mn0，那么mn的值为_139.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M、N分别为BC、PD的中点，且满足Mxyz则实数x，y，z的值分别为_-1,0,40在空间四边形ABCD中，ACBACB_41已知|a|3，|b|4，a与b的夹角为135，mab，nab，则mn，则_.42若向量，则_。11843若向量，则这两个向量的位置关系是_。44.已知向量，若，则_；若则_-645已知向量若则实数_15，_-。46若，是平面内的三点，设平面的法向量，则_-2：(-3):4。47已知关于x的方程有两个实根，且，当t 时，的模取得最大值.-48.已知矩形中，平面，且，若在边上存在一点，使得，则的取值范围是。a2,+)49在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并总保持APBD1则动点P的轨迹为（A ）A.线段B1CB.线段BC1C.线段B1B的中点与CC1的中点连线段D.线段BC的中点与B1C1的中点连线段解答题50.如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面三角形ABC中，CA=CB=1，BCA=900，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点。yzNBCC11B11AA11Mx（1）求的长；（2）求的值。解：以C为原点建立如图空间直角坐标系，（1）B（0，1，0），N（1，0，1）， （2） ， 且 ， 。51如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，M是棱AA1的中点，点O是对角线BD1的中点。（1）求证：BD1AC； （2）求证：OM是异面直线AA1与BD1的公垂线。证明：以D为原点，DC、DA、DD1所在的直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0),C(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1), M(0,1,) ,O(,)。 （1）， ， ，即BD1AC 。 （2）， 因为， 所以OMAA1，OMBD1， 即OM是异面直线AA1与BD1的公垂线。52如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，E、F分别是棱B1C1、C1D1的中点。求证：（1）E、F、B、D四点共面；（2）平面AMN平面BDFE。证明：以D为原点，DC、DA、DD1所在的直线分别FEMzyADCBA11B11C11D11xN为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系。 设正方体棱长为1，则A(1,0,0), M(1,1), N(,0,1), E(,1,1), F(0, ,1) （1） ，即E、F、B、D四点共面。（2） 设是平面BDFE的一个法向量，则 可取是平面BDFE的一个法向量。 易验证， 。 即也是平面AMN的一个法向量，平面AMN平面BDFE 。53在棱长为1的正方体中，分别是和的中点，求直线与所成夹角的余弦值。解法一:而 同理可得,如令为所求的角,则即直线与所成夹角的余弦值为.解法二:以D点为坐标原点,分别以的方向向量为轴,轴,轴的正方向,建立如图所示的直角坐标系.则zyxD1C1B1A1NMDCBA故，即直线与所成夹角的余弦值为.54已知矩形ABCD中，将ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上，E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点。（I）求证：DA平面ABC；（II）求点C到平面ABD的距离；（III）求二面角GFCE余弦值的大小。解：如图，以CB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点C，平面BD