（寒假总动员）2020年高二数学寒假作业 专题16 合情推理与演绎推理（学）

专题16 合情推理与演绎推理学一学-基础知识结论1.推理（1）推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论 温馨提醒：（1）任何推理都是由前提和结论两部分组成，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么，推理的前提可以是一个，也可以是几个结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么（2） 推理也可以看做是用连结词将前提和结论逻辑的连结，常用的连结词有：“因为，所以”“根据，可知”“如果，那么”等（2）推理的分类：（1）合情推理；（2）演绎推理1.合情推理（1）合情推理的概念根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.（2）归纳推理的概念由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.归纳推理是由特殊到一般的推理；（3）归纳推理的特点（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；（2）归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况有可能发生的（如教科书所述的“费马猜想”）；（3）人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；（4）归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段温馨提醒：归纳推理的结论可真可假;归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.（4）类比推理的概念类比推理（以下简称类比）是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式类比推理是由特殊到特殊的推理（5）类比推理的几个特点 （1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果； （2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； （3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能（6）合情推理的推理过程 温馨提醒： 由合情推理的过程可以看出，合情推理的结论往往超越了前提所包含的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确，但是，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用2.演绎推理（1）演绎推理的概念从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理（2）一般模式： “三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式：大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况； 结论根据一般原理，对特殊情况作出的结论.温馨提醒：如果一个推理规则能用符号表示为“如果ab，bc，则ac”，那么这种推理规则叫做三段论推理三段论推理包含了三个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题称为小前提，它指出了一个特殊对象，两者结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题结论温馨提醒：演绎推理的结论一定正确;演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。4.合情推理与演绎推理的区别与联系（1）从推理模式看归纳推理是由特殊到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理演绎推理是由一般到特殊的推理（2）从推理的结论看合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。演绎推理所得的结论一定正确。（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.温馨提醒：注意： 在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，合情推理不能用作证明学一学-方法规律技巧1归纳推理运用归纳推理时的一般步骤：（1）通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；（2）把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；（3）对所得出的一般性命题进行检验在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明例1已知数列an满足a12，an1(nN*)，则a3的值为_，a1a2a3a2020的值为_【答案】3【解析】分别求出a23、a3、a4、a52，可以发现a5a1，且a1a2a3a41，故a1a2a3a2020a2 005a2 006a2 007a1a2a33.2. 类比推理运用类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）（3）检验猜想.例2、在ABC中，D为AB上任一点，h为AB边上的高，ADC、BDC、ABC的内切圆半径分别为，则有如下的等式恒成立：在三棱锥P-ABC中D位AB上任一点，h为过点P的三棱锥的高，三棱锥P-ADC、P-BDC、P-ABC的内切球的半径分别为，请类比平面三角形中的结论，写出类似的一个恒等式为_ .3演绎推理用集合的观点理解“三段论”：若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质.注意：演绎推理的结论一定正确，演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理例3设同时满足条件：bn1(nN*)；bnM(nN*，M是与n无关的常数)的无穷数列bn叫“特界” 数列(1) 若数列an为等差数列，Sn是其前n项和，a34，S318，求Sn；(2) 判断(1)中的数列Sn是否为“特界” 数列，并说明理由【答案】(1) Snn29n; (2)是【解析】 (1) 设等差数