高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式素材1 新人教A版选修4-5（通用）

1.2 绝对值不等式庖丁巧解牛知识巧学一、绝对值三角不等式1.定理1 如果a,b是实数，则|a+b|a|+|b|，当且仅当ab0时，等号成立.定理1的等号成立的情况具体来说，当a=0或b=0时，或a0、b0时，或a0，b0时，等号都是成立的，即有|a+b|=|a|+|b|.除此之外，就是|a+b|a|+|b|了.如果把定理1中的实数a，b分别替换为向量a，b，则定理1的形式仍旧成立.即有|a+b|a|+|b|成立，当且仅当向量a,b不共线时，有|a+b|a|+|b|成立.联想发散根据定理1，我们可以得到许多正确的结论.其中比较常用的结论有：（1）如果a，b是实数，那么|a|-|b|ab|a|+|b|.（2）|a1+a2+a3+an|a1|+|a2|+|a3|+|an|(nN*).2.绝对值三角不等式所谓绝对值三角不等式就是指把定理1中的实数a,b分别替换为向量a,b，且向量a,b不共线时，所成立的不等式|a+b|a|+|b|.绝对值三角不等式即向量不等式|a+b|0，则有：|x|a-axa，因此，不等式|x|axa，因此，不等式|x|a的解集是(-,-a)(a,+).1.|ax+b|c和|ax+b|c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，只要将ax+b看成一个整体，然后套用|x|a的不等式的解法即可.2.|x-a|+|x-b|c和|x-a|+|x-b|c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：（1）利用绝对值的几何意义；（2）分区间讨论法；（3）构造函数利用函数的图象求解.求解这类绝对值不等式时，可根据题目的不同而适时选用不同的方法求解.误区警示解绝对值不等式切勿盲目地套用某一类解法，一定要注意不等式的形式，要针对不同的形式对号入座采取相应的方法来求解.典题热题知识点一： 与定理1、2相关的绝对值不等式的判断与证明例1 若|x-a|m,|y-a|n，则下列不等式一定成立的是（ ）A.|x-y|2m B.|x-y|2nC.|x-y|n-m D.|x-y|n+m思路分析：注意观察比较|x-y|与|x-a|，|y-a|之间的关系，不难发现通过适当变形就可运用定理1及已知条件来巧妙求解此题了,具体解题过程为：|x-y|=|x-a-(y-a)|x-a|+|y-a|0,n0)，求证：|ac+bd|.思路分析：证明此题时，可将ac、bd分别看成整体，那么就可以套用定理1来证明了.证明：a、b、c、dR,|ac+bd|ac|+|bd|=,|ac+bd|.误区警示如果利用ab来证明此题，就容易出现似是而非的证法，而利用较严格的公式|ab|来证明就不易出错了.因此同学们要注意公式的适时选用.知识点二： 绝对值不等式的解法例3 解关于x的不等式|2x-1|2m-1(mR).思路分析：要注意对2m-1的正负情况进行讨论.解：若2m-10，即m，则|2x-1|0，即m，则-(2m-1)2x-12m-1，所以1-mx时，原不等式的解集为：x|1-mxm.方法归纳对于不等号右侧是含有参数的式子的这类绝对值不等式，在求解时一定要通过对参数式子的正、负、零三种情况的讨论来求解.例4 解不等式3|x-2|4.思路分析：此题的不等式属于绝对值的连不等式，求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解.解：原不等式等价于由（1）得x-2-3或x-23，x-1，或x5.由（2）得-4x-24，-2x6.如上图所示，原不等式的解集为x|-2x-1或5x6.误区警示有些同学求解这类问题时，为了图省事，往往不爱通过画图来寻找解集，总爱耍点小聪明，这是造成求解出错的主要原因.例5 解不等式|x+7|-|x-2|3.思路分析：解含有绝对值的不等式，总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式，但要根据求解不等式的结构，选用恰当的方法.此题中有两个绝对值符号，故可用绝对值的几何意义来求解，或用分区间讨论法求解，还可构造函数利用函数图象求解.图1解：方法一 |x+7|-|x-2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到-7对应的点的距离与到2对应的点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x=-1（如图1所示）.从图易知不等式|x+7|-|x-2|3的解为x-1，即x(-,-1.方法二 令x+7=0，x-2=0得x=-7，x=2.当x-7时，不等式变为-x-7+x-23，-93成立,x2时，不等式变为x+7-x+23，即93不成立，x.原不等式的解集为(-,-1.方法三 将原不等式转化为|x+7|-|x-2|-30，构造函数y=|x+7|-|x-2|-3，即y=.作出函数的图象（如图2），从图可知，当x-1时，有y0，即|x+7|-|x-2|-30，所以，原不等式的解集为(-,-1.巧妙变式针对此题，我们可以进行各种不同的题目变式.如：可以将两个绝对值里面的运算符号改变、可以将两个绝对值之间的运算符号改变、可以将“”改变为“”，还可以将不等号右边的数改成字母等等.变式后题目的求解还是用上述的几种解法.问题探究误区陷阱探究问题1 对此题“写出不等式|2x-1|3的解集并化简”，某同学的错解如下：不等式|2x-1|3的解集是x|2x-1|3=x|2x-1-3=x|x-1=x|-1x2.探究过程:这位同学解得的结果是正确的，但解法不对.解法中有两处错误，但却歪打正着得出了正确的结果.首先是把绝对值不等式的解法搞错了.这位同学写的求解过程中的两个集合x|2x-1-3的中间不应当用并的符号“”，而应改为“”.这两个集合是应该取交集的.另外，按照这位同学错写的两集合“并”来运算时又解错了.x|x-1的结果应为x|-x+，而不是x|-1x2.探究结论:如果按照这位同学的思路求解，可以修改为：不等式|2x-1|3的解集是：x|2x-1|3=x|2x-1-3=x|x-1=x|-1x2.不过，更简单的解法应是：不等式|2x-1|3的解集是：x|2x-1|3=x|-32x-13=x|-1x0时g(x)=ax+b在-1,1上是增函数，g(-1)g(x)g(1)，|f(x)|1(-1x1)，|c|=|f(0)|1，g(1)=a+b=f(1)-c|f(1)|+|c|2，g(-1)=-a+b=-f(-1)+c-(|f(-1)|+|c|)-2，|g(x)|2.当a0时，g(x)=ax+b在-1,1上是减函数，g(1)g(x)g(-1)，|f(x)|1(-1x1)，|c|=|f(0)|1，g(-1)=-a+b=-f(-1)+c|f(-1)|+|c|2，g(1)=a+b=f(1)-c-(|f(-1)|+|c|)-2，|g(x)|2.当a=0时，g(x)=b，f(x)=bx+c，-1x1，|g(x)|=|f(1)-c