高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.4 曲线与方程的几种常规求法素材 北师大版选修2-1（通用）

曲线方程的几种常规求法求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一，是用代数方法研究几何问题的基础这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融于一体，因而也是历届高考考查的重要内容之一为了帮助同学们更好地理解、掌握这类题型，下文拟就求一般曲线的常用方法举例予以说明，以供参考一、直接法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，那么我们只须利用解析几何中的一些基本定理和公式，直接列出动点的坐标(x，y)所满足的关系式，通过化简整理便可得到曲线的轨迹方程OxyBCA(x，y)例1 已知ABC底边BC的长为8，两底角之和为，求顶点A的轨迹方程分析：易知A =，由夹角公式即可列出方程，因此可以用直接法解：以BC所在的直线为x轴，BC的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则得B(4，0)，C(4，0)设A(x，y)，于是=，=，由于ABCACB =，故A =当点A在x轴上方时，A是AB到AC的角，= tan= 1，化简、整理，得xy8y16 = 0 (y0)当点A在x轴下方时，A是AC到AB的角，= tan= 1，化简、整理，得xy8y16 = 0 (y0故顶点的轨迹方程为：xy8y16 = 0 (y0)和xy8y16 = 0 (y0评注：本题考查了求轨迹方程的基本方法及一条直线到另一条直线的角、斜率公式、夹角公式等基础知识，同时也考查了运算能力和利用分类讨论的思想分析问题和解决问题的能力直接法是求轨迹方程的基本方法之一例2 线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB| = 2a，|CD| = 2b，动点P满足|PA|PB| = |PC|PD|，求动点P的轨迹xyOABDCP解：以AB中点O为原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图设点P(x，y)，又A(a，0)，B(a，0)，C(0，b)，D(0，b)由题设知，点P所满足的条件为|PA|PB| = |PC|PD|由两点间距离公式，得=，化简，得xy=评注：建立适当的直角坐标系，甚为重要如本例中建立的直角坐标系，运算量不大，反之，如果坐标系建立不恰当，运算量会大大增加，很可能得不到正确结果二、代入法如果动点P(x，y)与Q(a，b)之间满足某些关系式，先写出P与Q之间的坐标关系，并用Q的坐标表示P的坐标，而后代入P的坐标所满足的关系式，并化简整理，即得所求方程OxyCBMAP例3 已知定点O(0，0)和(6，0)，M为OA的中点，以OA为一边作菱形OABC，MB与AC交于点P，当菱形变动时，求动点P的轨迹分析：如图，连结OB，易见P为ABO的重心，可见点B为引起点P发生变化的关键点，从而需要寻找点P与点B的坐标之间的联系，这里需借助于点P为为ABO的重心来建立解：设动点P(x，y)，点B(a，b)，由A(6，0)知M(3，0)，连结OB，则P为ABO的重心，易知，=，由线段的定比分点坐标公式， 有，| AB | = | OA |，= 6，即(a6)b= 36，把a = 3x6，b = 3y代入式，整理，得(x4)y= 4因为点P不可能在x轴上，因此所求动点轨迹方程为(x4)y= 4 (y0)评注：寻找与动点变化相关的点，是解决好本题的关键，注意与动点相关的动点必须在确定的曲线上运动，在确定的曲线题目中或者已明确给出，或者易由题目的条件求出例4 已知点A(1，3)和直线：2x3y = 6，点B在直线上运动，点P是有向线段AB的分点，且APPB = 12，求点P的轨迹方程解：设P(x，y)，点B(a，b)，则=由线段的定比分点坐标公式， 得，又B(a，b)在直线2x3y = 6上，代入得P点的轨迹方程为6x9y28 = 0xyDCOAQRB P评注：这是主动点与被动点问题，其解题关键是寻找所求动点与已知曲线上的动点之间的关系，即设法用P点坐标表示B点坐标，在这里是借助于线段的定比分点坐标公式来建立的两动点之间关系的三、参数法有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点常常受到另一个变量的制约，或者用这个变量可以将动点坐标(x，y)中的x，y表示出来此时可以取这个变数为参数，建立轨迹的参数方程这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，需要将参数消去例5 在正方形ABCD中，AB、BC 边上各有一个动点Q、R，且| BQ | = | CR |，试求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程分析：交点P受Q与R的制约，因此，选择的参数要与Q、R有直接联系，故可以选取AQ 与BR为参数解：如图，取A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，正方形ABCD边长为a，取AQ = t，BR = t直线DQ、AR的方程为=1，直线AR的方程为y =将上述两个直线方程联立解得t0，a0，x0，y0由、式求得t =，将其代入式得xyay = 0所求轨迹方程为xyay = 0 (x0，y0)评注：本题使用参数法求轨迹，取AQ = t，即以t为参数统一x，y，最后消去参数，用参数求轨迹要注意合理选择参数，作参数的量常是动点的坐标例6 过定点A(a，b)任何互相垂直的两直线与，且与x轴交于M点，与y轴交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程解：当不平行于y轴时，设的斜率为k，依题意，得k0xyOMNP，故的斜率为，的方程为yb = k(xa)， 的方程为yb =(xa) 在中，令y = 0，得M点的横坐标x= a，在中，令x = 0，得M点的纵坐标y= b设MN中点P的坐标为(x，y)，则，消