高中数学 第二章 参数方程 2.4 平摆线和渐开线素材 北师大版选修4-4（通用）

2.4 平摆线和渐开线一、平摆研究1、情境创设问题：如图，一个人的自行车外带上沾了一点白色油漆，当他骑车向前直行时，这个白色油漆斑点在空中会描出一条什么样的曲线？引导学生拖动点C，使车轮在地面上滚动，观察点P的轨迹；学生会发现，点P的轨迹是一条以前没有研究过的曲线从而引入主题，即：一个圆沿着一条直线作无滑动的滚动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，又叫旋轮线.操作提示：先按【滚动】或直接拖动点C，使得圆在直线上无滑滚动，初步认识、猜想点P轨迹的形状；继而【追踪】，直观刻画点P的轨迹形状，2、方程探究通过对平摆线的直观研究，可以发现平摆线的一些性质如：图象是由一些呈周期性排列的拱组成，每个拱的拱高为2r，拱底长为2r引导学生认识到进一步研究平摆线需要研究其曲线方程以问题：“如何才能实现动圆在直线上无滑滚动呢？”为主线引导学生在实验平台中探究，学生容易发现在滚动过程中保持线段AC及弧长的长度相等，从而进一步尝试方程的推导如下：设是轨迹上任一点，则那么，从而得出相应的轨迹参数方程操作提示：按【比较】会显示线段AC及弧长的动态度量值，从而能帮助学生认识其中的规律3、平摆变幅在问题：“P点的轨迹是平摆线，若直线OP上另有一点Q，那么圆在直线上作无滑滚动时，Q点的轨迹如何呢？” 的指引下，引导学生探究相应的轨迹，从而得出下列结论：一个圆沿着一条直线作无滑动的滚动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，圆内一个定点的轨迹叫做短幅平摆线；圆外一个定点的轨迹叫做长幅平摆线操作提示：按纽【轨迹】会给出点Q的轨迹，拖动点Q能帮助学生初步对变幅摆线形成动态印象；按纽【比较】会给出两条典型的短幅摆线和长幅摆线，再次拖动点Q可以帮助学生形成整体动态认识，从而能认识到可以根据点Q相对于圆的位置对变幅摆线加以分类二、拓展研究1、外摆线探究有了平摆线的研究经历和基础，学生对类似情境“动圆在定圆外滚动会得到什么样的曲线呢”的研究会产生极大的兴趣 学生在如图所示的实验平台中容易发现，轨迹是一条与平摆线相似的曲线，从而引出探究主题，即动圆在定圆外无滑滚动时，动圆圆周上的一个定点的轨迹是外摆线操作提示：与平摆线的研究相类似，学生在外摆线的探究上也须经历一个由感性认识到理性升华的过程，先让学生在【滚动】中猜想外摆线的形状，通过【追踪】验证直觉判断，继而通过【比较】度量值的大小，从而对动圆在定圆外无滑滚动有所感悟，从而对外摆线有个全面而深刻的认识2、摆线拓展在前面探究的基础上，改变相应的R、r的值，可以得到不同类型的摆线模型，初步认识到摆线的形状取决于R、r的比例操作提示：选中参数R或r的度量值，按动小键盘上的“+”或“-”改变相应参数的值，可以发现摆线的形状发生变化，当r值为负时表示动圆在定圆内滚动；拖动半径r的两端点可以改变图形的大小，从而能在屏幕上得到合适的显示3、摆线全景在实验平台中同时显示四个图，目的是让学生对摆线形成整体认识，即摆线包括三种类型：外摆线、内摆线、环摆线，并在比较中归纳出摆线的分类（如下表，根据R、r的相对比例）：操作提示：按动按纽【选中R】将选中全部四个图中参数R，这样再按小键盘上的“+”或“-”就可以同时改变四个图中的参数了，从而可以地实现对摆线的整体研究，按动按纽【选中r】也有相类似的效果在R或r的值过大的情况下，对应的图形也会超出相应的范围，这样不利于观察图形的特征，可以拖动绿色点（与红色点接近图形缩小，反之则图形放大）后再按按纽【统一长度】即可解决问题4、摆线变幅在顺利研究了摆线的分类后，与平摆线的变幅相类似，学生在问题“P点的轨迹是摆线，若直线OP上另有一点Q，那么动圆P在定圆O外（或内）作无滑滚动时，Q点的轨迹如何呢”的引领下，很自然地会想到研究摆线的变幅在相应数学实验平台的支持下，学生容易认识到：当Q点在圆P上时，Q点的轨迹是摆线；当Q点在圆P内时，Q点的轨迹是短幅摆线；当Q点在圆P外时，Q点的轨迹是长幅摆线操作提示：在显示【轨迹】的基础上，拖动点Q，随着点Q相对于动圆的位置不同，将产生不同的变幅摆线；同时也可改变参数R或r，观察不同类型的摆线的变幅，感受其异同之处，对摆线的变幅形成整体认识5、哥白尼定理在摆线全景中，学生会发现特殊情形下的摆线会成为一条直线，从而产生探究兴趣动圆P在定圆O内无滑滚动且R=2|r|时，动圆上一个定点的轨迹是定圆的一条直径（哥白尼定理）根据哥白尼定理，可以把旋转运动变成往返的直线运动，这一定点机械设计上是很有用的