高二数学 圆锥曲线题型分类训练

高二数学 圆锥曲线题型分类训练一、有关求值问题1.已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程2.圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)双曲线C1：1过点P且离心率为.(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程3.已知抛物线:，圆:的圆心为点M（）求点M到抛物线的准线的距离；（）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程二、有关证明问题4.如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k0，求证：PAPB5.已知曲线.（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，直线与直线交于点，求证：，三点共线.三、有关求范围和最值问题6.椭圆C：(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分()求椭圆C的方程；() 求ABP的面积取最大时直线l的方程7.已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标8.如图，O为坐标原点，椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2，且|F2F4|1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值9.在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为（）求抛物线的方程；（）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值10.椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。（）求C1，C2的方程；（）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E（i）证明：MDME;（ii）记MAB,MDE的面积分别是问：是否存在直线l,使得?请说明理由。四、有关定点定值问题11.在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（）求曲线C1的方程；（）设P(x0,y0)（y03）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.12.如图所示，已知双曲线C：y21(a0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点) (1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值13.已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E.证明直线AE过定点，并求出定点坐标ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由14.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值五、有关探究性问题15.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为；（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，是否存在点使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由.16.如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.(1)求椭圆的方程;(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.17.如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为,.记,和的面积分别为和.(I)当直线与轴重合时,若,求的值;(II)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由.18.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D（I）设，求与的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由一、有关求值问题(2020年之后高考题)1.已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程21解：(1)设Q(x0，4)，代入y22px，得x0，所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2，所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故线段的AB的中点为D(2m21，2m)，|AB|y1y2|4(m21)又直线l 的斜率为m，所以l 的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故线段MN的中点为E，|MN|y3y4|.由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2，化简得m210，解得m1或m1，故所求直线l的方程为xy10或xy102.圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图16所示)双曲线C1：1过点P且离心率为.图16(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程20解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为，.故其围成的三角形的面积S.由xy42x0y0知，当且仅当x0y0时x0y0有最大值2，此时S有最小值4，因此点P的坐标为(，)由题意知解得a21，b22，故C1的方程为x21.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(，0)，(，0)，由此可设C2的方程为1，其中b10.由P(，)在C2上，得1，解得b3，因此C2的方程为1.显然，l不是直线y0.设直线l的方程为xmy，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m22)y22 my30.又y1，y2是方程的根，因此由x1my1，x2my2，得因为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意知0，所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40，将代入式整理得2m22 m4 110，解得m1或m1.因此直线l的方程为x(1)y0或x(1)y0.3.已知抛物线:，圆:的圆心为点M（）求点M到抛物线的准线的距离；（）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。 （I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 所以圆心M（0，4）到准线的距离是（II）解：设，则题意得，设过点P的圆C2的切线方程为，即则即，设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以将代入由于是此方程的根，故，所以由，得，解得即点P的坐标为，所以直线的方程为二、有关证明问题4.如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k0，求证：PAPB本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分.解：（1）由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以（2）直线PA的方程解得于是直线AC的斜率为（3）解法一：将直线PA的方程代入则故直线AB的斜率为其方程为解得.于是直线PB的斜率因此解法二：设.设直线PB，AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以从而因此5.已知曲线.（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，直线与直线交于点，求证：，三点共线.解：（1）原曲线方程可化简得：由题意可得：，解得：（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，解得：由韦达定理得：，设，方程为：，则，欲证三点共线，只需证，共线即成立，化简得：将代入易知等式成立，则三点共线得证。（lby lfx）三、有关求范围和最值问题6.如图，椭圆C：(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分()求椭圆C的方程；() 求ABP的面积取最大时直线l的方程【解析】()由题：； (1)左焦点(c，0)到点P(2，1)的距离为： (2)由(1) (2)可解得：所求椭圆C的方程为：()易得直线OP的方程：yx，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中y0x0A，B在椭圆上，设直线AB的方程为l：y(m0)，代入椭圆：显然m且m0由上又有：m，|AB|点P(2，1)到直线l的距离为：SABPd|AB|m-4|=，此时直线l的方程7.已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标20解：(1)由已知可得解得a26，b22，所以椭圆C的标准方程是1.(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(2，0)，设T点的坐标为(3，m)，则直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ.直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.设M为PQ的中点，则M点的坐标为.所以直线OM的斜率kOM，又直线OT的斜率kOT，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.由可得，|TF|，|PQ|.所以.当且仅当m21，即m1时，等号成立，此时取得最小值故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，1)8.如图17，O为坐标原点，椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2，且|F2F4|1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值图1721解： (1)因为e1e2，所以，即a4b4a4，因此a22b2，从而F2(b，0)，F4(b，0)，于是bb|F2F4|1，所以b1，a22.故C1，C2的方程分别为y21，y21.(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(1，0)，故可设直线AB的方程为xmy1，由得(m22)y22my10.易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1y2，y1y2.因此x1x2m(y1y2)2，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为，PQ的方程为yx，即mx2y0.由得(2m2)x24，所以2m20，且x2，y2，从而|PQ|22.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d.因为点A，B在直线mx2y0的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而2d.又因为|y1y2|，所以2d.故四边形APBQ的面积S|PQ|2d2.而00)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点)图17(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值20解：(1)设F(c，0)，因为b1，所以c.由题意，直线OB的方程为yx，直线BF的方程为y(xc)，所以B.又直线OA的方程为yx，则A，所以kAB.又因为ABOB，所以1，解得a23，故双曲线C的方程为y21.(2)由(1)知a，则直线l的方程为y0y1(y00)，即y(y00)因为直线AF的方程为x2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x的交点为N，则.又P(x0，y0)是C上一点，则y1，代入上式得，所以，为定值13.已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E.证明直线AE过定点，并求出定点坐标ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由21解：(1)由题意知F.设D(t，0)(t0)，则FD的中点为.因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：由(1)知F(1，0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD，0)(xD0)因为|FA|FD|，则|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02，0)故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b.设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F(1，0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1，0)所以直线AE过定点F(1，0)由知，直线AE过焦点F(1，0)，所以|AE|AF|FE|(x01)x02.设直线AE的方程为xmy1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m.设B(x1，y1)直线AB的方程为yy0(xx0)，由y00，得xy2x0.代入抛物线方程得y2y84x00，所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点B到直线AE的距离为d4，则ABE的面积S4x0216，当且仅当x0，即x01时，等号成立所以ABE的面积的最小值为16.14.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值【答案】解：（1）由题设知，由点在椭圆上，得，。由点在椭圆上，得椭圆的方程为。（2）由（1）得，又，设、的方程分别为，。同理，。（i）由得，。解得=2。注意到，。直线的斜率为。（ii）证明：，即。（lby lfx）由点在椭圆上知，。同理。由得，。是定值。五、有关探究性问题15.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为；（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，是否存在点使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由。（lby lfx）【解析】（1）设 由，所以设是椭圆上任意一点，则，所以当时，当时，有最大值，可得，所以当时， 不合题意故椭圆的方程为：（2）中，当且仅当时，有最大值，时，点到直线的距离为又，此时点