陕西省高中数学 第一章 推理与证明 反证法第一课时教案 北师大版选修2-2

反证法一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程与特点。二、教学重点：了解反证法的思考过程与特点。教学难点：正确理解、运用反证法。三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：综合法与分析法综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效。就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述。因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程。（二）、探究新课1、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。2、例题探析例1、已知a是整数，2能整除，求证：2能整除a.证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则，即是奇数。所以，2不能整除。这与已知“2能整除”相矛盾。于是，“2不能整除a”这个假设错误，故2能整除a.例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，如图所示，则。这样的内角和 。这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾，这说明假设是错误的。所以直线a与b不相交，即a与b平行。例3、求证：是无理数。证明： 不是无理数，即是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设，且p，q互素，则。所以 。 故是偶数，q也必然为偶数。设q=2k，代入式，则有，即，所以p也为偶数。P和q都是偶数，它们有公约数2，这与p，q互素相矛盾。因此，假设不成立，即“是无理数”。（三）、小结：反证法的证题步骤是：（1）作出否定结论的假设；（2）进行推理，导出矛盾；（3）否定假设，肯定结论。应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识。反证法的适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）（四）、练习：1、课本练习1. 2、“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？证法：先假设可以作一个O过A、B、C三点， 则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上， 即O是l与m的交点。 但 A、B、C共线，lm(矛盾) 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆。（五）、作业：课本习题1-3： （3）、（4）补充题：若、，(1)求证：；(2)令，写出、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公