高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.4 关注曲线与方程的等价性素材 北师大版选修2-1（通用）

关注曲线和方程的等价性根据曲线与方程的关系，在求曲线方程时要注意下面两点：(1)曲线上的所有点都符合条件而毫无例外，它刻画的是轨迹的纯粹性.(2)适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏，它刻画的是轨迹的完备性.这两种关系必须同时满足，缺一不可.这个概念的实质是：曲线C的点集M|P(M)和方程f(x,y)=0的解集(x,y)|f(x,y)之间具有一一对应关系.因此，在求曲线时，所求出的方程和题设条件中所描述的曲线(或图形)是否等价，须从两个方面着手：（1）验证：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上；（2）验证点是否在曲线上转化为点的坐标是否满足方程.下面举例说明要关注的两种典型题.一、少解问题在求轨迹方程时，如果忽略隐蔽条件，有些方程会出现漏掉曲线上的部分或个别点，应根据其条件作出补充.例1 M为x轴上的一个动点，一直线经过点A（2，3）且垂直于直线AM，交y轴于N，过M，N分别作两坐标轴的垂线交于点P，求P点的轨迹方程。分析：如图所示，因为MPx轴，所以M，P两点的横坐标相等，又PNy轴，所以P，N两点的纵坐标相同，而M，N分别在两坐标轴上，所以可用P点的坐标来表示出M，N两点的坐标，再利用AMAN，则斜率互为负倒数可列出适合条件的等式，化简可得方程。解：设P(x，y)，则M(x，0)，N(0，y)，AMAN，KAMKAN1，即1(x2)，化简，得2x3y130(x2)，当x2时，y3，也适合方程2x3y130，P点轨迹方程为2x3y130.评注：一般地，要求那个点的轨迹方程，就设这个点为（x，y），只需要列出x，y的等量关系式，就是所要求的动点的轨迹方程，但最后要注意轨迹的严密性，本题用斜率互为负倒数时，要注意讨论斜率不存在时的情况，以免出现遗漏。二、增解问题在求曲线的轨迹方程时，因方程整理、变形不等价，由此会出现不符合题意的点，这时必须去掉，解这类题目时，要认真分析题意，仔细思考，严密变形.例2如图，点A(-1,0),B(2,0),动点M满足2MAB=MBA,求点M的轨迹方程.分析：由于2MAB=MBA,给出的是角的条件，解析几何中的角的条件转化为代数问题要联想倾斜角、夹角等.本题给出的角，是倾斜角或倾斜角有关.这样可以充分利用直线斜率公式，将角的条件转化为代数方程.MAB为直线MA的倾斜角，MBx=p-MBA是直线MB的倾斜角，因此可得点M的轨迹方程.解：(1)当点M在x轴上方时，设点M(x,y),MAB=a,则MBA=2a,tana=kAM=,tan(p-2a)=-tan2a=kBM=,-tan2a=,将tana=代入上式得=,化简得y=0或x2=1(y0),2MAB=MBA,|AM|MB|,故x1,x2=1(x1,y0).当MBA=90时，MB斜率不存在，此时MBA为等腰直角三角形，点M(2,3),在曲线上，且满足方程x2=1(x1,y0).当点M为线段AB的内分点时，满足题设MBA=2MAB，y=0(-1x2).(2)当M在x轴下方时，MBA为MB的倾斜角，此时MA的倾斜角为p-MBA，用同样的方法可得上述方程x2=1(x1,y0).综上所述，点M的轨迹方程为：x2=1(x1)和y=0(-1x2).评注：本例由于二倍角正切公式对角的限制，如果不考虑直线的倾斜角，主要是MBA=90和MBA=0两种情况，则会产生增解，使所求的曲线方程不具备纯粹性.例3 已知A（2，0）、B（-1，2），点C在直线2x+y-3=0上移动，求ABC重心G的轨迹方程分析：重心G的运动是由点C在直线2x+y-3=0上运动引起的，因而设出G点坐标（x，y），再用x、y表示出点C的坐标，就可以建立起点G的轨迹方程，另外还应考虑完备性与纯粹性是否得到保证解：设G（x，y），C（x0，y0）G是ABC的重心，A（2，0），B（-1，2）；，故，又C（x0，y0）在直线2x+y-3=0上，2x0y0-3=0，即2(3x-1)+(3y-2)-3=0， 6x+3y-7=0. （）A（2，0）、B（-1，2）、C（3x-1,3y-2）共线的条件是，即2x+3y-4=0.解方程组，得，方程（）中含有轨迹外的一个点（，），应剔除故ABC的重心G的轨迹方程是6x+3y-7=0 (x).评注：本例中的动点C、G可分别称为主动点与从动点，要求从动点G的轨迹，应设出其坐标，再根据主动点与从动点存在的位置关系，建立两动点坐标之间的等量关系，实现用从动点坐标表示主动点坐标之后，代入主动点坐标应满足的等量关系，就得到从动点坐标应满足的方程，这