高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算 妙用空间向量求空间距离素材 北师大版选修2-1（通用）_第1页
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算 妙用空间向量求空间距离素材 北师大版选修2-1（通用）_第2页
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算 妙用空间向量求空间距离素材 北师大版选修2-1（通用）_第3页
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文档简介

妙用空间向量求空间距离通过引入空间向量，用向量代数处理立体几何问题，体现了数与形的有机结合，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何的独到之处。空间距离有：1、两点之间距离；2、点线距离；3、点面距离；4、线线（异面直线）距离；5、线面（线面）距离；6、面面（面面）距离，其中，两点之间距离、点线的距离易求，线面距离、面面距离都可转化为点面距离，下面主要介绍用空间向量求异面直线的距离和点面距离。一、 求异面直线的距离例1 如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，M、N分别为DC、BB1的中点，求异面直线MN与A1B的距离。ABCDMD1A1B1C1Nxyz图1分析：建立坐标系，求、的单位法向量，再求在单位法向量上的射影。解：以A为原点，以AD、AB、AA1为坐标轴，建立如图1所示的直角坐标系，则M（3，2，0），N（0，4，1），即=（-3，2，1），=（0，4，-2）设MN、A1B公垂线的方向向量为n（x，y，z），则有令y=1，则z=2，x=即n=（，1，2），|n|=又=（-3，-2，2），在n上的射影的长度为d=即异面直线MN与A1B的距离为点评：利用向量法求公垂线段长的关键是利用公垂线的定义及向量共线和向量垂直的条件建立方程组求出公垂线段的向量。二、 求点到平面的距离PnM图2如图2，平面的法向量为n，P是平面外一点，点M为平面内任一点，则P到平面的距离d就是在向量n方向上射影的绝对值，即d=例2 如图3，正方形ABCD的边长为4，GC平面ABCD，且CG=2，点E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。ABECDyFxz图3 G分析1：利用在平面EFG的单位法向量n上的射影，求点B到平面EFG的距离，即d= |cos|解法1：建立如图3所示的坐标系，则C（0，0，0），A（4，4，0），B（4，0，0），D（0，4，0），E（4，2，0），F（2，4，0），G（0，0，2）=（0，2，0）， =（4，2，-2）， =（-2，2，0）设平面GEF的法向量n=（x，y，z），则有即令x=1，则y=1，z=3，n=（1，1，3）点B到平面GEF的距离为d=|cos|=|=分析2：用两点间距离公式求，即求出过B垂直于平面EFG的向量，它的模长就是点B到平面EFG的距离。解法2：建立如图3直角坐标系，同解法1，=（0，2，0）， =（-2，4，0），=（-4，0，2）， =（4，2，-2）， =（-2，2，0）设向量平面GEF，垂足为M，则M、G、E、F四点共面，故存在实数x、y、z，使=x+y+z，即=x（0，2，0）+y（-2，4，0）+z（-4，0，2）=（-2y-4z，2x+4y，2z）由平面GEF得，于是=0，=0即，即，解得=（-2y-4z，2x+4y，2z）=（，）|=即点B到平面GEF的距离为点评：用
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