2010年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

20102010 年普通高等学校招生全国统一考试（年普通高等学校招生全国统一考试（2 2 全国全国卷）卷） 数学数学( (文文) )试题试题 一、选择题一、选择题 ( ( 本大题本大题 共共 1212 题题, , 共计共计 6060 分分) ) 1.设全集集合，则 ,6*xNxU 5 , 3,3 , 1BABA A.B.C.D. 4 , 1 5 , 1 4 , 22 2.不等式的解集为0 2 3 x x A. B.32xx2xx C.D.3, 2xxx或3xx 3.已知=)2cos(, 3 2 sinx则 A.B.C. D. 3 5 9 1 9 1 3 5 4.函数的反函数是) 1)(1ln(1xxy A.B.)0( 1 1 xey x )0( 1 1 xey x C.D.)( 1 1 Rxey x )( 1 1 Rxey x 5.若变量 x，y 满足约束条件的最大值为yxz yx xy x 2 . 5 23 , , 1 则 A.1 B.2C3.D.4 6.如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么 721 aaa A.14B.21 C.28D.35 7.若曲线在点（0，b）处的切线方程是则baxxy 2 , 01 yx A.a=1，b=1B.a=-1，b=1 C.a=1，b=1D.a=-1，b=-1 8.已知三棱锥 SABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形。SA 垂直于 底面 ABC，SA=3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 A B C S E F A.B.C. D. 4 3 4 5 4 7 4 3 9.将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封 放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 A.12 种B.18 种C.36 种D.54 种 10.中，点 D 在边 AB 上，CD 平分若|a|=1，|b|=2，ABC,ACB,bCAaCB 则CD A.B. ba 3 2 3 1 ba 3 1 3 2 C.D.ba 5 4 5 3 ba 5 3 5 4 11.与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等 的点 A.有且只有 1 个B.有且只有 2 个 C.有且只有 3 个D.有无数个 12.已知椭圆的离心率为过右焦点 F，且斜率)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C. 2 3 的直线与 C 相交于 A、B 两点，若，则=)0(kkFBAF3k A.1B. C.D.223 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡上 13.已知是第二象限的角，= .cos, 2 1 tan 14.的展开式中的系数是 . 9 ) 1 ( x x 3 x 15.已知抛物线的准线为 ，过 M（1，0）且斜率为的直)0(2: 2 ppxyCl3 线与 相交于点 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p= .lMBAM 16.已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两上小圆，AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦，AB=4，若 OM=ON=3，则两圆圆心的距离 MN= . O M N E A B 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤. 17.（本小题满分 10 分）中，D 为 BC 边上的一点，BD=33，ABC 求 AD., 5 3 cos, 13 5 sinADCB 18.（本小题满分 12 分）已知是各项均为正数的等比数列，且 n a ). 111 (64) 11 (2 343 342 21 21 aaa aaa aa aa （1）求的通项公式； n a （2）设，求数列的前 n 项和 2 ) 1 ( n nn a ab n b. n T 19.（本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 ABCA1B2C1中， AC=BC，AA1=AB，D 为 BB2的中点，E 为 AB1上的一点，AE=3EB2. （1）证明：DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线； （2）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为，求二面角 A2AC1B1的大小.45 20.（本小题满分 12 分） 如图，由 M 到 N 的电路中共有 4 个元件，分别标为，电流能通 4321 ,TTTT 过的概率都是 p，电流能通过 T4的概率是 0.9，电流能否通过各元件 321 ,TTT 相互独立，已知中至少有一个能通过的概率为 0.999. 321 ,TTT （I）求 p； （II）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 . 1 33)( 22 xaxxxf （I）设 a=2，求的单调区间；)(xf （II）设在区间（2，3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围.)(xf 22.（本小题满分 12 分） 已知斜率为 1 的直线 与双曲线相交于 B，D 两l)0, 0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C 点，且 BD 的中点为 M（1，3）. （I）求 C 的离心率； （II）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. A B C S E F 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试（年普通高等学校招生全国统一考试（2 2 全国全国卷）卷） 数学数学( (文文) )试题试题 答案解析答案解析: : 一、选择题 （1）C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. A=1,3。B=3,5， ，故选 C .1,3,5AB ()2,4 U CAB （2）A ：本题考查了不等式的解法 ， ，故选 A 3 0 2 x x 23x （3）B：本题考查了二倍角公式及诱导公式， SINA=2/3， 2 1 cos(2 )cos2(1 2sin) 9 （4）D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，函数 Y=1+LN（X-1）(X1)， 11 ln(1)1,1,1 yx xyxeye （5）C：本题考查了线性规划的知识。 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与的交点 yx325xy 为最优解点，即为（1，1） ，当时 1,1xy max 3z （6）C：本题考查了数列的基础知识。 ， 345 12aaa 4 4a 127174 1 7 ()728 2 aaaaaa （7）A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ， ，在切线， 0 2 x yxaa 1a (0, )b10 xy 1b （8）D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所 成角。 过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，连结 SE，过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F，连 BF，正三角形 ABC， E 为 BC 中点， BCAE，SABC， BC面 SAE， BCAF，AFSE， AF面 SBC，ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角， 由正三角形边长 3，AS=3， SE=，AF=，3AE32 2 3 4 3 sinABF （9）B：本题考查了排列组合的知识 先从 3 个信封中选一个放 1，2 有 3 种不同的选法，再从剩下的 4 个数中 选两个放一个信封有，余下放入最后一个信封，共有6 2 4 C183 2 4 C （10）B：本题考查了平面向量的基础知识 CD 为角平分线， ， ， 1 2 BDBC ADAC ABCBCAab ， 222 333 ADABab 2221 3333 CDCAADbabab （11）D：本题考查了空间想象能力 到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为 半径的圆柱面上，三个圆柱面有无数个交点， （12）B：， ，),(),( 2211 yxByxA 2 3 ,3,3 21 eyyFBAF 设044,3,2 222 tyxtbtcta 直线 AB 方程为.3tsyx 代入消去， x 032)4( 222 tstyys ，, 4 , 4 32 2 2 21 2 21 s t yy s st yy ，解得， 2 2 22 22 2 3 2, 3 44 stt yy ss 2 1 2 s 2k 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡上 （13） ：本题考查了同角三角函数的基础知识 2 5 5 O M N E A B ， 1 tan 2 2 5 cos 5 （14）84：本题考查了二项展开式定理的基础知识 ， ， 9 19 1 ( ) rrr r TC x x 923,3rr 3 9 84C （15）2：本题考查了抛物线的几何性质 设直线 AB：，代入得， 33yx 2 2ypx 2 3( 62 )30 xp x 又 ， ，解得， AMMB 2 2 1 px 2 4120pP 解得（舍去） 2,6pp （16）3：本题考查球、直线与圆的基础知识 ON=3，球半径为 4，小圆 N 的半径为，7 小圆 N 中弦长 AB=4，作 NE 垂直于 AB， NE=，同理可得 ME=，33 在直角三角形 ONE 中， NE=，ON=3，3 MN=3, 3 , 6 MONEON 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤. （17）解：）解： 由 由已知得， 3 cos0 52 ADCB 知 124 cos,sin 135 BADC 从而 sinsin()BADADCB =sincoscossinADCBADCB . 41235 513513 33 65 由正弦定理得 , AD sinsin BD BBAD 所以 . sin AD sin BDB BAD 5 33 13 =25 33 65 （18）解：）解： （）设公比为 q，则.由已知有 1 1 n n aa q 化简得 11 11 234 111 234 111 11 2, 111 64. aa q aa q a qa qa q a qa qa q 2 1 26 1 2 64. a q a q ， 又，故 所以 1 0a 1 2,1qa 1 2n n a （）由（）知 2 21 21 111 242 4 n nnn n nn baa aa 因此 11 1 1 1 11411 4 14.41.224421 1 444 13 1 4 n n nnn n n Tnnn （19）解法一：）解法一： （）连结,记与的交点为 F.因为面为正方 1 A B 1 A B 1 AB 11 AA BB 形，故，且.又，所以， 11 A BAB 1 AF=FB 1 AE=3EB 1 FE=EB 又 D 为的中点，故. 1 BB 1 DEBFDEAB， 作,G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点.CGAB 又由底面面，得.ABC 11 AA B BCG 11 AA B B 连结 DG，则，故,由三垂线定理，得. 1 DGABDEDGDECD 所以 DE 为异面直线与 CD 的公垂线. 1 AB （）因为，故为异面直线与的夹角，. 1 DGABCDG 1 ABCDCDG=45 设 AB=2，则，,. 1 AB2 2DG= 2CG= 2AC= 3 作,H 为垂足，因为底面,故 111 B HA C 11111 A B CAAC C 面 ， 111 B HAAC C 面 又作，K 为垂足，连结,由三垂线定理，得，因 1 HKAC 1 B K 11 B KAC 此为二面角的平面角 1 B KH 111 AACB 2 2 111111 1 11 1 22 2 3 ABACAB B H AC 22 1111 3 3 HCBCB H 22 11 1 1 2 3 2( 3)7, 3 7 AAHC ACHK AC 1 1 tan14 B H B KH HK 所以二面角的大小为 111 AACBarctan 14 解法二：解法二： （）以 B 为坐标原点，射线 BA 为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐x 标系.Bxyz 设 AB=2，则 A（2,0,0,） ，D（0,1,0） ， 1 B (0,2,0) ， 1 3 E(,0) 2 2 又设 C（1,0,c）,则 . 1 1 1 DE0B A= 2,-2,0 ,DC= 1,-1,c 2 2 ， 于是. 故, 1 DE B A=0,DE DC=0 AA 1 DEB ADEDC， 所以 DE 为异面直线与 CD 的公垂线. 1 AB （）因为等于异面直线与 CD 的夹角， 1 ,B A DC 1 AB 故 ， 即 ， 11 cos45B A DCB A DC AA 2 2 2 224 2 c 解得 ，故， 又， 所以2c AC(,22) -1 ， 11 AA =BB =(0,2,0) ， 11 AC =AC+AA =( 1,22) ， 设平面的法向量为， 则 11 AAC( , , )mx y z 11 0,0m ACm AA AA 即22020 xyzy 且 令，则，故 令平面的法向量为2x 1,0zy( 2,0,1)m 11 ABC ( , , )np q r 则，即 11 0,0n ACn B A AA220,220pqrpq 令，则，故2p 2,1qr ( 2,21)n 所以 . 1 cos, 15 m n m n m n A 由于等于二面角的平面角， 所以二面角的,m n 111 A -AC -B 111 A -AC -B 大小为. 15 arccos 15 （2020）解：）解： 记表示事件：电流能通过 1 AT,1,2,3,4, i i A 表示事件：中至少有一个能通过电流， 123 TTT， B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过， （）相互独立， 123123 AA A AAAAAA ， , 3 123123 P( )()() () ()(1)AP A A AP A P A P ApAA 又 ，P( )1P(A)=1 0.9990.001A 故 ， 3 (1)0.0010.9pp， （）， 44134123 BA +A A A +A A A AAAAAA 44134123 P(B)P(A +A A A +A A A A )AAAAA 44134123 P(A )+P(A A A )+P(A A A A )AAAAA 44134123 P(A )+P(A )P(A )P(A )+P(A )P(A )P(A )P(A ) =0.9+0.10.90.9+0.10.10.90.9 =0.9891 （2121）解：）解： （）当 a=2 时， 32 ( )631,( )3(23)(23)f xxxxfxxx 当时在单调增加；(,23)x ( )0,( )fxf x(,23) 当时在单调减少；(23,23)x( )0,( )fxf x(23,23) 当时在单调增加；(23,)x( )0,( )fxf x(23,) 综上所述，的单调递增区间是和，( )f x(,23)(23,) 的单调递减区间是( )f x(23,23) （）， 22 ( )3()1fxxaa 当时，为增函数，故无极值点； 2 10a( )0,( )fxf x( )f x 当时，有两个根