高中数学 第二章 参数方程 2.3 参数方程化成普通方程素材 北师大版选修4-4（通用）

2.3 参数方程化成普通方程以C(x0，y0)为圆心，r为半径的圆的参数方程是(为参数)，特别地当圆心在原点时，圆的参数方程是(为参数),其中参数的几何意义是过圆上任意一点P和圆心C的直线与Ox所成的角，取值范围是02一，求曲线中最值问题例1平面上有两点A(2，0)、B(2，0)，试在圆(x6)2(y8)225上求一点P，使|AP|2|BP|2取最小值解析：圆(x6)2(y8)225的参数方程是(为参数)，设P点坐标为(65cos，85sin)，则|AP|2|BP|2(85cos)2(85sin)2(45cos)2(85sin)2258120cos160sin258200(cossin) 258200sin()，(arcsin)当sin()1时，25820058|AP|2|BP|2有最小值，此时P(3，4).点评：圆的参数方程主要是以三角函数的形式来表达的，因此必须要熟练掌握三角函数的知识，如在本题中就利用了正余弦函数的平方关系与asinxbcosxsin(x).例2如果实数x,y满足x2y22x4y200，试求x2y2的最小值.分析：从几何意义来考虑，如图，P(x,y)是圆C：(x1)2(y2)225上的一点，可利用圆的参数方程，解：设P(5cosq1,5sinq2)，则目标函数|OP|2x2y2(5cosq1)2(5sinq2)23010sin(qarctan)，当qarctan时，(x2y2)min3010.评注：利用圆(xa)2(yb)2r2的参数方程(q为参数)，来设P点的坐标，就把目标函数由二元转化为一元，促使问题顺利解决.从几何意义来考虑，要求|OP|的最小值，还可以用圆C的半径减去|OC|，更简捷地求得.二求点轨迹例3已知圆x2y21，定点A(1,0),B、C是圆上两个动点，保持A、B、C在圆上逆时针排列，且BOC(O为坐标原点)，求ABC重心G的轨迹方程.分析：由于点B、C的坐标为未知，如果分别设为B(x1，y1)，C(x2，y2)，再利用已知条件寻求两者间的关系，则显得未知量较多，其运算过程也较繁.因此可考虑用圆的参数方程，根据参数的几何意义，可将B，C两点的坐标统一起来.解：令B(cosq,sinq),则C(cos(q),sin(q),设重心坐标为(x,y),则,即,化为普通方程得：(x)2y2.点评：利用圆的参数方程求点的轨迹方程的解题目标是借助圆的参数表示动点的纵、横坐标，然后消去参数，即可得到动点的轨迹方程.解答此类题的关键建立圆的点与动点的关系，本题是利用重心坐标公式来建立的.例4如图，已知点P是圆x2y216上的一个动点，定点A(12，0)，当点P在圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹.分析：由于点M为点和点A的中点，点A的坐标已知，点P在已知圆上，故而点的坐标可以用参数来表示，所以，点M的坐标便可以表示了，由此便可以求出线段PA的中点M的轨迹方程，进而知道其轨迹.解：设点M(x，y)，圆x2y216的参数方程为，设点P(4cos，4sin)，由线段中点坐标公式得，即点M轨迹的参数方程为，点M的轨迹是以点(6，0)为圆心，2为半径的圆点评：本题是利用中点坐标公式来建立圆上的动点与所求的动点之间的关系的.同时要注意所求问题的提法，求点的轨迹与求点的轨迹方程是不相同的，求点的轨迹，不仅要求出点的轨迹方程，而且还必须对动点的轨迹进行详尽的描述.三、求函数的值域(或最值)例5求函数f()的最大值和最小值.分析：f()的形式相似于斜率k的形式，因此可以把f()看作是动点 (cos，sin)与定点(2，1)连线的斜率.所求问题转化为求斜率f()的最大值和最小值.由于动点(cos，sin)在圆x2y21上，因此可以把这个问题转化到图形上来处理.(利用几何画板作出圆x2y21以及相关的点，这样，学生就很清楚地知道，当过定点(2，1)与动点(cos，sin)的直线与圆相切时，取得最值).解：根据题意，作出如图所示的图. 所要求的函数f()的最大值与最小值，就转化为求动点P与定点(2，1)连线的斜率的最大值与最小值.从图可以得知，当直线PM和圆相切时，分别得到其最大值与最小值.设直线PM的斜率为k，所以，其方程为：y1k(x2)，即kxy10.当