狄拉克(Dirac)符号VIP

1 狄拉克符号（狄拉克符号（狄拉克符号（狄拉克符号（DiracDiracDiracDirac） 1 1 1 1 狄拉克符号狄拉克符号狄拉克符号狄拉克符号 量子体系状态的描述量子体系状态的描述量子体系状态的描述量子体系状态的描述，前述波动力学和矩阵力学两种方法前述波动力学和矩阵力学两种方法前述波动力学和矩阵力学两种方法前述波动力学和矩阵力学两种方法，其共同特点是其共同特点是其共同特点是其共同特点是：与体系有关的与体系有关的与体系有关的与体系有关的 所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合， 而展开系数模平方具有力学量概率的含义。而展开系数模平方具有力学量概率的含义。而展开系数模平方具有力学量概率的含义。而展开系数模平方具有力学量概率的含义。 问题问题问题问题：能否不从单一角度描述体系能否不从单一角度描述体系能否不从单一角度描述体系能否不从单一角度描述体系，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄 拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量-态矢，并引进了一套态矢，并引进了一套态矢，并引进了一套态矢，并引进了一套“狄拉克符号狄拉克符号狄拉克符号狄拉克符号” ， 简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。 1.11.11.11.1 狄拉克符号的引入狄拉克符号的引入狄拉克符号的引入狄拉克符号的引入 1.1.11.1.11.1.11.1.1 态空间态空间态空间态空间 任何力学量完全集的本征函数系任何力学量完全集的本征函数系任何力学量完全集的本征函数系任何力学量完全集的本征函数系)(xun作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例） ， 微观体系的状态波函数微观体系的状态波函数微观体系的状态波函数微观体系的状态波函数作为该空间的一个态矢，有作为该空间的一个态矢，有作为该空间的一个态矢，有作为该空间的一个态矢，有 = n nnu a（1 1 1 1） n a即为态矢即为态矢即为态矢即为态矢在基矢在基矢在基矢在基矢 n u上的分量上的分量上的分量上的分量，态矢态矢态矢态矢在所有基矢在所有基矢在所有基矢在所有基矢 n u上的分量上的分量上的分量上的分量 n a构成了态矢在构成了态矢在构成了态矢在构成了态矢在 n u这个这个这个这个 表象中的表示（矩阵）表象中的表示（矩阵）表象中的表示（矩阵）表象中的表示（矩阵） = n a a a 2 1 (), * 2 * 1n aaa= + （2 2 2 2） 微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间 注意注意注意注意： （1 1 1 1） 式中的式中的式中的式中的 n u只是表示某力学量的本征态只是表示某力学量的本征态只是表示某力学量的本征态只是表示某力学量的本征态， 而抛开其具体表象而抛开其具体表象而抛开其具体表象而抛开其具体表象； （2 2 2 2） 式的右方是式的右方是式的右方是式的右方是的的的的 n u 表象表象表象表象 1.1.21.1.21.1.21.1.2 态空间中内积（标积）的定义态空间中内积（标积）的定义态空间中内积（标积）的定义态空间中内积（标积）的定义 设态空间中两个任意态矢设态空间中两个任意态矢设态空间中两个任意态矢设态空间中两个任意态矢 A 与与与与 B 在同一表象在同一表象在同一表象在同一表象 n u中的分量表示各为中的分量表示各为中的分量表示各为中的分量表示各为 n a与与与与 n b，则两，则两，则两，则两 态矢内积的定义为态矢内积的定义为态矢内积的定义为态矢内积的定义为 () = = + n nn n nBA ba b b b aaa * 2 1 * 2 * 1 , （3 3 3 3） 注意：注意：注意：注意： ABBA + 1.1.31.1.31.1.31.1.3 狄拉克符号的引入狄拉克符号的引入狄拉克符号的引入狄拉克符号的引入 态空间中的态空间中的态空间中的态空间中的与与与与 + 在形式上具有明显的不对称性在形式上具有明显的不对称性在形式上具有明显的不对称性在形式上具有明显的不对称性， 狄拉克认为它们应该分属于两个不同狄拉克认为它们应该分属于两个不同狄拉克认为它们应该分属于两个不同狄拉克认为它们应该分属于两个不同 2 的空间的空间的空间的空间伴随空间伴随空间伴随空间伴随空间 引入符号引入符号引入符号引入符号，称为右矢，称为右矢，称为右矢，称为右矢 KetKetKetKet 矢，矢，矢，矢，BraBraBraBra 矢（矢（矢（矢（BracketBracketBracketBracket括号括号括号括号表示表示表示表示，的集合构成右矢空间的集合构成右矢空间的集合构成右矢空间的集合构成右矢空间，在右矢空间中的分量表在右矢空间中的分量表在右矢空间中的分量表在右矢空间中的分量表 示可记为矩阵示可记为矩阵示可记为矩阵示可记为矩阵 = n a a a 2 1 （4 4 4 4） 约定：右矢空间的态矢约定：右矢空间的态矢约定：右矢空间的态矢约定：右矢空间的态矢, BA 一律用字母一律用字母一律用字母一律用字母, BA 表示表示表示表示 力学量的本征态矢一律用量子数力学量的本征态矢一律用量子数力学量的本征态矢一律用量子数力学量的本征态矢一律用量子数,2,1nlmn，或连续本征值，或连续本征值，或连续本征值，或连续本征值表示表示表示表示 引入符号引入符号引入符号引入符号 ，称为左矢称为左矢称为左矢称为左矢微观体系的一个量子态微观体系的一个量子态微观体系的一个量子态微观体系的一个量子态也可用也可用也可用也可用与与与与的分量互为共轭复数的分量互为共轭复数的分量互为共轭复数的分量互为共轭复数 (), * 2 * 1n aaa=BA,的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分 量之积的和量之积的和量之积的和量之积的和 =+=| ,|n仍为抽象的本征矢仍为抽象的本征矢仍为抽象的本征矢仍为抽象的本征矢 1.21.21.21.2 基矢的狄拉克符号表示基矢的狄拉克符号表示基矢的狄拉克符号表示基矢的狄拉克符号表示 1.2.11.2.11.2.11.2.1 离散谱离散谱离散谱离散谱 力学量完全集的本征函数力学量完全集的本征函数力学量完全集的本征函数力学量完全集的本征函数 n u具有离散的本征值具有离散的本征值具有离散的本征值具有离散的本征值 n Q时时时时，对应的本征矢对应的本征矢对应的本征矢对应的本征矢n|,2| ,1| 或或或或nlm|等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为 = 0 0 1 1| = 0 1 0 2| = 0 1 0 |n第第第第 n n n n 行行行行（7 7 7 7） （1 1 1 1）基矢具有正交归一性）基矢具有正交归一性）基矢具有正交归一性）基矢具有正交归一性 mn nm= n n na|（9 9 9 9） 两边同时左乘两边同时左乘两边同时左乘两边同时左乘|m=|中得，中得，中得，中得， =|nn n 所以所以所以所以1|= nn n （11111111） 称为基矢的封闭性称为基矢的封闭性称为基矢的封闭性称为基矢的封闭性狄拉克符号运算中非常重要的关系式狄拉克符号运算中非常重要的关系式狄拉克符号运算中非常重要的关系式狄拉克符号运算中非常重要的关系式 1.2.21.2.21.2.21.2.2 连续谱连续谱连续谱连续谱 当力学量本征值构成连续谱当力学量本征值构成连续谱当力学量本征值构成连续谱当力学量本征值构成连续谱时，对应的基矢记为时，对应的基矢记为时，对应的基矢记为时，对应的基矢记为| （1 1 1 1）正交归一性）正交归一性）正交归一性）正交归一性)(|= da|（13131313） =| ,| ,|nlmn只表示某力学量抽象的本征矢只表示某力学量抽象的本征矢只表示某力学量抽象的本征矢只表示某力学量抽象的本征矢，例如例如例如例如x|只表示本征值为只表示本征值为只表示本征值为只表示本征值为x的力的力的力的力 学量学量学量学量x的本征矢，而具体的基矢形式为：的本征矢，而具体的基矢形式为：的本征矢，而具体的基矢形式为：的本征矢，而具体的基矢形式为：x表象中表象中表象中表象中)()(|xxxuxx=n|，态矢记为，态矢记为，态矢记为，态矢记为|或或或或,| ,|BA，用基矢展开，用基矢展开，用基矢展开，用基矢展开 = |1|nn n （16161616） 展开系数展开系数展开系数展开系数=|在在在在n|表象中的分量，也可写成表象中的分量，也可写成表象中的分量，也可写成表象中的分量，也可写成 4 = | |2 |1 | 2 1 na a a n （17171717） 相应的左矢相应的左矢相应的左矢相应的左矢 =|d（20202020） 或或或或 =n|表象的波函数表象的波函数表象的波函数表象的波函数 1.41.41.41.4 线性厄米算符的作用线性厄米算符的作用线性厄米算符的作用线性厄米算符的作用 1.4.11.4.11.4.11.4.1 离散谱离散谱离散谱离散谱 （1 1 1 1）算符作用在基矢上）算符作用在基矢上）算符作用在基矢上）算符作用在基矢上 = nn nm nFmFnnmF|（22222222） 算符矩阵元算符矩阵元算符矩阵元算符矩阵元= |F（24242424） 即有即有即有即有=|上上上上 = dFFdF|（27272727） =|上（算符方程）上（算符方程）上（算符方程）上（算符方程） = |F（29292929） 具体表象下具体表象下具体表象下具体表象下= dxxFFxx xx |即为即为即为即为x表象中方程表象中方程表象中方程表象中方程 ),(),(),(tx x ixFtx = 1.4.31.4.31.4.31.4.3 算符对左矢空间的作用算符对左矢空间的作用算符对左矢空间的作用算符对左矢空间的作用 （1 1 1 1）算符对左矢空间的态矢从后向前作用，即）算符对左矢空间的态矢从后向前作用，即）算符对左矢空间的态矢从后向前作用，即）算符对左矢空间的态矢从后向前作用，即 |F的共轭式应该是的共轭式应该是的共轭式应该是的共轭式应该是 + F|，若考虑算符的厄米性，若考虑算符的厄米性，若考虑算符的厄米性，若考虑算符的厄米性 + =FF则有则有则有则有 + = |H t i（34343434）可变为微分可变为微分可变为微分可变为微分积分方程积分方程积分方程积分方程 += pdtpppUtp p tp t i ),()(),( 2 ),( 2 式中式中式中式中),(,)( )2( 1 )(),( 2 3 2 tprderUpUrU p H rp i =+= 是动量表象中的波函数是动量表象中的波函数是动量表象中的波函数是动量表象中的波函数 解：因解：因解：因解：因 =+ + +=1| 2 1 1| 2 1 |n n n n nx 故故故故 +=+ + = 1| 2 1 1| 2 |n n n n n 故故故故 + =p|）为基矢，）为基矢，）为基矢，）为基矢， px i p expx 2/1 )2( 1 )(| = = + 1|1| 1| nnna nnna （58585858） 另外，另外，另外，另外，= + + nnnannaanN|1|（59595959） 即即即即n|为算符为算符为算符为算符 N的本征态，本征值为的本征态，本征值为的本征态，本征值为的本征态，本征值为n 又有又有又有又有 += += nnnNnH| 2 1 | 2 1 |（60606060） 可见可见可见可见,1| ,1| ,|+nnn都是都是都是都是 H的本征态，分别对应能量的本征态，分别对应能量的本征态，分别对应能量的本征态，分别对应能量 11, , +nnn EEE 2.4.32.4.32.4.32.4.3 占有数表象占有数表象占有数表象占有数表象 由由由由 += 2 1 nEn可知可知可知可知，谐振子能量以谐振子能量以谐振子能量以谐振子能量以 2 1 为基点为基点为基点为基点（零点能零点能零点能零点能） ，并且只能以并且只能以并且只能以并且只能以为基本单位为基本单位为基本单位为基本单位 变化变化变化变化。若把若把若把若把作为一个作为一个作为一个作为一个“粒子粒子粒子粒子”的能量的能量的能量的能量，那么那么那么那么 n E所表示的是所表示的是所表示的是所表示的是n个个个个“粒子粒子粒子粒子”的能量的能量的能量的能量，对应的对应的对应的对应的n| 表示体系具有表示体系具有表示体系具有表示体系具有n个个个个“粒子粒子粒子粒子”的状态。微观粒子体系的所有可能状态的状态。微观粒子体系的所有可能状态的状态。微观粒子体系的所有可能状态的状态。微观粒子体系的所有可能状态n|,2| ,1|，构成了，构成了，构成了，构成了 正交归一完备系，而以正交归一完备系，而以正交归一完备系，而以正交归一完备系，而以n|为基矢的表象成为占有数表象。体系的任意状态可以在占有数表为基矢的表象成为占有数表象。体系的任意状态可以在占有数表为基矢的表象成为占有数表象。体系的任意状态可以在