建坐标系解立体几何(含解析)

三维几何建立坐标系1.如图所示，在金字塔S-ABCD、abcd、BC CD中，边SAB是一个等边三角形。AB=BC=2。CD=标准差=1。证明：SD飞机sab(2)求AB与平面SBC形成的角度。2.如图所示，在四面体ABOC中，oc OA，oc ob，AOB=120，OA=OB=OC=1。(1)设定p为交流电的中点，AB上的q和AB=3AQ。证明：pqoa；(ii)求二面角的平面角的余弦3.如图所示，在正三棱镜ABC-A1B1C1中，AB=4，AA1=，点d是BC的中点，点e在AC上，而DEA1E.(I)验证：飞机A1DE飞机acc1a1(ii)求出由直线AD和平面A1DE形成的角度的正弦值。4.如图所示，在直三棱镜中，ABC-A1B1C1，AB=1，AC=AA1=，ABC=60。(I):aba1c证书；(ii)找出二面角a-a1c-b的大小。5.在金字塔A-BCDE中，底部BCDE是矩形的，侧面ABC是底部BCDE，BC=2，CD=，AB=AC。证明：adce；(ii)将边ABC设为等边三角形，并求出二面角c-ad-e的大小6.如图所示，正三棱镜ABC-A1B1C1的所有边都是2，而D是CC1的中点。核实：AB1飞机a1bd(ii)找出二面角a-a1d-b的大小。7.如图所示，在三角金字塔V-ABC中，VC底部ABC，ACBC，d是AB的中点，AC=BC=，VDC=。(I)验证：飞机VAB飞机vcd(ii)尝试确定的值，以便直线BC与平面VAB形成的角度为。8.如图所示，BCD和MCD是两条边的正三角形。MCD平面BCD，AB平面BCD，AB=2。(1)求出直线调幅与平面BCD形成的角度；(ii)求出由平面ACM和平面BCD形成的二面角的正弦值。9.如图所示，在金字塔P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB DC，以及 BCD=90。核实：pcbc；(ii)找出从a点到PBC飞机的距离。10.如图所示，在直三棱镜中，ABC-A1B1C1，AC=BC，AA1=AB，D是BB1的中点，E是AB1上的一个点，AE=3EB1。(一)证明了：度是AB1和镉在不同平面上的公共垂线；(ii)二面角A1-AC1-B1通过将二面角直线AB1和CD之间的角度设定为45来确定。11.如图所示，在金字塔S-ABCD中，底面ABCD是矩形的，SD底面ABCD，AD=，DC=SD=2。点m在侧边SC上，abm=60。(一)证明：米是横向边缘的中点；(ii)找出二面角s-am-b的大小。12.如图所示，在直三棱镜ABC-A1B1C1中，ABAC、d和e分别是AA1和B1C以及DE平面BCC1的中点。证明：安培=交流电；(ii)将二面角-设定为60，并计算由B1C和平面BCD形成的角度。13.如图所示，金字塔P-ABCD的底面是正方形，PD底面是ABCD，点e在边PB上。核实：飞机pdb(ii)当PD=AB且e为PB的中点时，计算声发射与平面PDB形成的角度。14.如图所示，在金字塔P-ABCD中，底面ABCD是矩形的，PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2。以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交点PD在点m处(I)核实：飞机pcd(2)找出直线计算机与平面反弹道导弹形成的角度；(三)找出从O点到反弹道导弹平面的距离。15.如图所示，金字塔S-ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，AD=，点e是SD上的一个点，并且DE=(02)。(I)验证：对任意 (0，2)具有acbe；(二)让二面角为，直线与平面形成的角度为。如果，求的值。16.如图所示，在五面体ABCDEF中，ABDC， BAD=，CD=AD=2。四边形ABFE是平行四边形，FA 平面ABCD，FC=3，ed=1。查找：(一)直线AB到EFCD平面的距离；(ii)二面角f-ad-e的平面角正切。17.如图所示，将立方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上的移动点P设置为边长为1。注意APC为钝角时的数值范围。答案和分析1.解1 :(1)取AB的中点E并连接DE，那么四边形BCDE是矩形的，DE=CB=2。加入SE，然后加入SEAB，SE=。SD=1，所以ED2=SE2，所以DSE是直角。(3分)AB 平面SDE由AB de，ab SE，de SE=e获得，因此ab SD，SD垂直于两条相交的直线ab和se，所以SD飞机SAB。(6分)(二)从AB飞机SDE、ABCD飞机SDE得知。对SFDE来说，垂直脚是f，如果AB与平面SBC形成的角度是，sin =，=反正切。(12分)解2:以C为坐标原点，射线CD为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示。让D(1，0，0)，然后A(2，2，0)，B(0，2，0)。如果再次设置S(x，y，z)，则x0，y0，z0。()=(x-2，y-2，z)，=(x，y-2，z)，=(x-1，y，z)，By | |=| |=，所以x=1。y2 z2=1来自|=1，x2 (y-2)2 z2=4来自|=2，即y2 z2-4y 1=0，因此y=，z=。(3分)所以S，=，=0，=0。DSAS，DSBS，还有SD飞机SAB。(6分)(ii)设置平面SBC的法向量a=(m，n，p)，然后是a的a，a=0，a=0。and=(0，2，0)，所以(9分)取p=2得到a=(-，0，2)。and=(-2，0，0)，cos，a=。因此，AB与平面SBC形成的角度为反正切。(12分)2.解决方案1 : (I)在平面OAB中使ONOA交叉点AB位于n，连接CN。在AOB中， AOB=120，OA=OB，OAB=OBA=30.在RtAON中， OAN=30，ON=AN。在ONB，nob=120-90=30=obn，NB=ON=AN.同样， q是a的中点。在CAN中， p、q分别是AC和AN的中点，PQCN.从OA oc，OA on，OA 飞机CON，NC飞机con， OA cn。从pq cn，OA pq是已知的。将生产通知书、采购订单联系起来。从8756 oc飞机OAB，oc OAB飞机OABOA，OC OB出发，从：onAOC飞机OA出发。OP是NP在AOC平面上的投影。在等腰RtCOA中，p是AC的中点，而8756 AC是 OP。根据三重垂直定理，可知： AC是 NP。 OPN是二面角O-AC-B的平面角。在等腰三角形中，OC=OA=1，OP=.在RtAON中，ON=OAtan 30=，在RtPON中，PN=，cosOPN=。解2 :(1)以0为坐标原点，以0、0所在的直线为X轴和Z轴，建立空间直角坐标系O-xyz(如图所示)。那么A(1，0，0)，C(0，0，1)，b,p是AC的中点，P.从已知的，我们可以得到=。and=。=(1 =-=，0，0)=0。因此.(ii)平面ABC的法向量n=(n1，n2，n3)由n的n确定，并且=(1，0，-1)，因此，希望n=(1，1)。平面OAC的法向量是e=(0，1，0)。cos=.二面角-的平面角是一个锐角，表示为，然后cos=。3.(I)如图所示，从正三棱镜ABC-A1B1C1的性质可知AA1平面ABC。和飞机ABC，所以DEAA1.DEA1E，aa1a1e=a1，所以DE飞机ACC1A1。它也是飞机A1DE，所以飞机A1DE飞机ACC1A1。(ii)溶液a :穿过点a，作为垂直于A1E点f的点，连接DF。从(I)可知，A1DE飞机是A1飞机，所以AF飞机是a1飞机。因此，ADF是直线AD与平面A1DE形成的角度。因为DE飞机在deac. acc1a 1ABC是有四条边的正三角形，所以AD=2，AE=4-CE=4-CD=3。因为AA1=，A1E=4，AF=，SinADF=。也就是说，由直线AD和平面A1DE形成的角度的正弦是。解决方案2:如图所示，如果0为交流的中点，0为原点建立一个空间直角坐标系，相关点的坐标为A(2，0，0)，A1(2，0，D(-1，0)，E(-1，0，0)。很容易知道=(-3，-)，=(0，-，0)，=(-3，0)。如果n=(x，y，z)是平面A1DE的法向量，则解是x=-z，y=0。因此，n=(，0，-3)是优选的。所以cos=-.由此，我们知道由直线AD和平面A1DE形成的角度的正弦值是。4.解决方案1 : (I)证明： 三棱镜ABC-A1B1C1是直三棱镜，ABAA1.在ABC中，AB=1，AC=，ABC=60，以及 ACB=30，来自正弦定理， BAC=90，即ABAC.AB飞机ACC1A1和A1C飞机acc1a1，8756ab a1c。(ii)如图所示，使ADA1C在点d处与A1C相交以连接BD。BD a1c是从三垂直定理和8756中得知的； ADB是二面角a-a1c-b的平面角，单位为RtAA1C。AD=，在RtBAD中，tanADB=， ADB=arctan，即二面角A-A1C-B为arctan。解决方案2 :(1)证明了：三棱镜是一个直三棱镜。aa1ac. aa1ab在ABC中，AB=1，AC=，ABC=60。根据正弦定理， ACB=30，BAC=90，即ABAC.如图所示，如果建立了空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，0)，A1 (0，0，)，=(1，0，0)，=(0，-)(ii)如图所示，m=(1，0，0)可作为平面AA1C的法向量。假设平面A1BC的法向量是n=(l，m，n)，然后n=0，n=0，并且=(-1，0)， l=m，n=m。取m=1，然后n=(，1，1)。cos=，二面角A-A1C-B是弧角。5.解1 : (I)是AOBC，垂足是o，连接OD，从题目可知，AO底面BCDE，而o是BC的中点。已知自=RtOCDRtCDE，因此ODC=CED，因此CEOD.从三重垂直定理可知，ADCE.(ii)作为CGAD，垂直脚是g，连接GE。从(I)中，CEAD和ce CG=c，因此AD平面CGE，ADGE，所以 CGE是二面角的平面角c-ad-e。ge=，CE=，因为CGE=-。因此，二面角是弧角。解决方案2 : (I)是AOBC，具有垂直底脚o。从该问题，我们知道AO BC的底表面BCDE，并且o是BC的中点。以O为坐标原点，射线OC为x轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz。我们设A(0，0，t)。从已知的条件，我们知道c (1，0，0)，d (1，0)，e (-1，0)，=(-2，0)，=(1，-t)。所以=0，我们知道ADCE. ABC是一个等边三角形，所以A(0，0，)。CGAD，垂直脚g，连接CE。在RtACD中，查找|AG|=|AD|。因此，G，=，和=(1，-)，=0，=0。所以夹角等于二面角的平面角。cos=-知道二面角是弧。6.解决方案1 :(1)取BC的中点O并连接AO。ABC为正三角形，在aoBC正三棱镜ABC-A1B1C1平面，ABC平面BCC1B1，AO AO 平面BCC1B1。加入B1O，在bb1c1c广场，o和d分别是BC和C