第二讲 参数方程.ppt

一、曲线的参数方程,第二讲参数方程,探究:平抛运动,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机？,x,y,o,A,M(x,y),一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,并且对于t的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(1)就叫做这条曲线的参数方程.联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.,例,问：该曲线是什么图形？,例,把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？,练习1将下列参数方程化为普通方程：,(1),(2),步骤：（1）消参；（2）求定义域。,（1）（x-2）2+y2=9,（2）y=1-2x2（-1x1）,（3）x2-y=2（x2或x-2）,D,曲线y=x2的一种参数方程是（）,练习2,注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.,练习3求参数方程,表示,B,（）,（A）双曲线的一支，这支过点（1，,（B）抛物线的一部分，这部分过（,）,1，,）,（C）双曲线的一支，这支过点（1，,）,（D）抛物线的一部分，这部分过（1，,）,二、圆的参数方程,第二讲参数方程,复习回顾：,1.圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？,(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圆心坐标为(a,b),半径为r的圆,2.三角函数的定义？,3.参数方程的定义？,一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，即,探求：圆的参数方程,点P在P0OP的终边上,如图,设O的圆心在原点,半径是r.与x轴正半轴的交点为P0,圆上任取一点P,若OP0按逆时针方向旋转到OP位置所形成的角P0OP=,求P点的坐标。,根据三角函数的定义得,解:,设P（x,y）,(1),我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。其中参数表示OP0到OP所成旋转角，。,例1,解：,所以，点M的轨迹的参数方程是,注意：轨迹是指点运动所成的图形；轨迹方程是指表示动点所成图形所满足的代数等式。,它表示（3,0）为圆心，1为半径的圆,变式,已知点P是圆O:x2+y2=4上的一个动点,点B是平面上的定点,坐标为(6,2).当点P在圆上运动时,求线段PB中点M的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？,解：,所以，点M的轨迹的参数方程是,它所表示的图形是以（3,1）为圆心，1为半径的圆。,得出结论：,(2)圆心为(-2,-3),半径为1:_.,(x-1)2+(y+1)2=25,练习,例2,说明：本例说明了圆的参数方程在求最值时的应用；,已知点P(x,y)是圆上的一个动点,求:x+y的最小值。,三、椭圆的参数方程,第二讲参数方程,如下图，以原点为圆心，分别以a，b（ab0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANox，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.,分析：,点M的横坐标与点A的横坐标相同,点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.,而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.,设XOA=,如下图，以原点为圆心，分别以a，b（ab0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANox，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.,解：,设XOA=,M(x,y),则,A:(acos,asin),B:(bcos,bsin),由已知:,即为点M的轨迹参数方程.,消去参数得:,即为点M的轨迹普通方程.,2.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab,知识归纳,椭圆的标准方程:,椭圆的参数方程中参数的几何意义:,圆的标准方程:,圆的参数方程:,x2+y2=r2,的几何意义是,AOP=,椭圆的参数方程:,是AOX=,不是MOX=.,【练习】把下列普通方程化为参数方程.,把下列参数方程化为普通方程,例1、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线l：x-y+4=0的距离最小.,分析1：,分析2：,分析3：,平移直线l至首次与椭圆相切，切点即为所求.,小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。,例2、已知椭圆有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。,练习,1、动点P(x,y)在曲线上变化，求2x+3y的最大值和最小值,2、取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和B(-4cos,6sin)两点的线段的中点轨迹是.A.圆B.椭圆C.直线D.线段,B,设中点M(x,y),x=2sin-2cos,y=3cos+3sin,1.O1与O有什么联系？,O1是由O按向量=(a,b)平移后得到。,由平移公式得：,圆心为O1(a,b)、半径为r的圆的