2020-2021学年高中数学 第1章 三角函数 1.1.2 弧度制学案 新人教A版必修4VIP

1.1.2弧度制学习目标核心素养1 .在弧度制下，理解角的集合和实数集之间的一对一对应关系2 .理解“弧角”的定义，进行弧和角度的换算，掌握弧长公式和扇形面积公式，能够熟悉特殊角的弧数。3 .理解“角度制”和“弧度制”的区别和联系1 .通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，提高学生的数学抽象素养2、在模拟和数学运用过程中，培养学生的数学建模和数学运算素养1 .测量角度的两个单位制(1)角度控制定义：以度为单位测量角度的单位制一度角：周角的(2)弧度制定义：以弧度为单位测量角度的单位制1弧度角：长度等于半径长弧对的中心角2 .弧度数的计算思考：比与取圆的半径大小有关吗？提示：与一定大小的中心角对应的弧长与半径之比是唯一确定的，与半径的大小无关3 .角度制和弧度制的换算4 .若干特殊角与弧度数的对应关系度030456090120135150180270360弧度025 .扇形弧长和面积公式设扇形半径为r、弧长为l、(02)为其中心角时(1)弧长式： l=r(2)扇形面积式： s=lr=r21 .以下说法中错误的是()a.1弧度角是周角b .弧度制是十进制，角度制是六十进制c.1弧度角大于1度的角d .按照弧度的定义，180必须等于弧度a a错了，1弧度的角是周角. b、c、d都是正确的. 2.(1)角度为_(2)105弧度数为_(1)252 (2) (1)=252；(2)105=105 rad=rad.3 .半径为2，中心角为扇形的面积为_已知s风扇=22=.4.-是_象限的角三-=-8，是第三象限角-也是第三象限角。 角度与弧度的相互化及应用【例1】将下列角度变为弧度或弧度(1)72 (2)-300 (3)2 (4)解 (1)72=72=；(2)-300=-300=-；(3)2=2=；(4)-=-=-40角度制与弧度制相互化的关键与方法(1)重要性：重要的是抓住互化式 rad=180(2)方法：度数=弧度数弧度数=度数(3)将角度设为弧度时，请先将分、秒设为度，然后再设为弧度1.(1)15730 为弧度，把(2)改为(1) -rad (2)-396 (1)-15730 =157.5=-rad=-rad。(2)-=-396.2 .在 2，4中，与72角终端边相同的角度是_ (用弧度表示)这是因为 终端边与72角相同的角为=72 k360(kz )。k=1时，=432=因此，在2，4中，与72角终端边相同的角为.用弧度表示角(1)将1480写入2k (kz )的形式，并判断其为第几个象限(2)终端如图所示的阴影部分内的(除去边界)角的集合用弧度表示。改变想法： (1)(2)(1)-1480=-1480=10，其中02，第四象限角因此-1 480是第四象限角(2)因为210=rad，210=rad由于该具有两个角的终点的直线相同，终点在直线ab上的角为=k，kz，终点在y轴上的角为=k，kz，因此终点落入影子部分的角的集合为1 .用弧度制作与角的终点相同的角的显示在弧度制中，可以将与角终点相同的角表示为|=2k ，kz，即，可以将与角的终点相同的角表示为 2的整数倍.2 .从已知图形中提取区域角集合的步骤(1)仔细观察模式(2)将写出区域的边界作为终端时角的表示。(3)用不等式表示领域范围内的角。注意：角度制和弧度制不能混合存在在与3 .的结束边相同的方程式中，正确的是()a.2k 45(kz) b.k360 (kz )c.k360-315(kz) d.k (kz )c a、b中弧度和角度混合存在，不正确=2，所以和终端边相同。 -315=-360 45所以-315也和终端边一样4 .画圆形，在图的阴影部分(边界除外)内的角的集合。解 30=，150=终点在问题干图中的阴影区域内角的集合(边界除外)弧长公式和扇形面积公式的应用探索问题1 .用式|=求中心角时，应该注意什么问题？提示：应注意结果是中心角的绝对值，具体应用要注意其大小和正负。2 .使用弧度弧长公式和面积公式时，如果已知的角是“度”单位，应该注意哪些问题？提示：如果已知的角是“度”单位，则必须将其变为弧度后再计算。 否则，结果就容易出错【例3】 (1)如图所示，对于以正方形abcd中的点a为中心、以边长ab为半径的扇形eab，当图中的两个影子的部分的面积相等时，ead的弧数的大小为.(2)扇形oab的面积为4 cm2，其周长为8 cm，求出扇形的半径和中心角想法要点： (1)首先根据两个影子部分的面积相等的列方程式，解方程式求出ead弧度数(2)首先根据题意，排列弧长和半径的方程式，解方程式求出弧长和半径，最后用弧数式求出中心角的弧数(1)设1)2-ab=1，873ead=s扇形ade=s影bcd题意起12=12-，解为=2-(2)解扇形的中心角的弧数为(02)，弧长为l cm，半径为r cm根据题意从开始，r=2，8756； 得到l=8-2r=4、=2.求出的扇形半径为2，中心角为2 rad1.(不改变条件)将本例(2)的条件8改变为 10 ，将4改变为4，其他条件不变，求出扇形的中心角的弧度数解设扇形中心角的弧度数为(02 rad (截断) .在r=4情况下，l=2(cm )，在该情况下，=rad .2.(不改变结论)删除本例(2)的条件面积为4 cm2，求出扇形oab的最大面积和此时的弧长ab设解弧长为l，半径为r，则已知的l 2r=8l=8-2r，|=s=|r2=r2=-r2 4r=-(r-2)2 4在r=2时，s将最大值设为4，此时，中心角=2得到弧长ab=r=22=4.1 .用弧度制解决扇形问题的步骤：(1)明确弧长式和扇形的面积式： l=|r，s=|r2和s=lr.(在此必须是弧度制的角)(2)分析主题的已知量和要求量，灵活选择公式(3)根据条件列的方程式(组)或目标函数求解注意：观察角的测量制，适当选择公式2 .通过引入弧度制，弧长式和扇形面积式具有弧度制的新形式，体现了核心素养下两种式的比较和弧度的渗透角度控制下l=，s=弧度制下l=|r，s=|r2=lr1 .角的概念推进后，在弧度制下，角的集合和实数的集合r之间建立了一对一的关系：每个角对应唯一的实数(即该角的弧度数)，相反，每个实数也对应唯一的角(即弧度数等于该实数的角)。2 .弧度制下有关扇形问题的解题策略(1)弧度制扇形的面积式是s=lr=|r2(其中，l是扇形的弧长，r是扇形的半径，(02)是扇形的中心角) .(2)关于扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，重要的是分析主题要求哪个量，有效利用弧长式、扇形面积式直接求解或解列式注意：利用弧度制中的弧长式和扇形面积式的前提是为弧度1 .以下说法正确的是()a.1弧度是一度中心角朝向的弧度b.1弧度是长度为半径的圆弧c.1弧度是一度弧和一度角之和d.1弧度是长度等于半径的弧成对的中心角的大小d 利用弧度概念进行判断，容易看出d是正确的2 .以下转换结果错误的是()a.60成为弧度是因为b.-化度为-600c.-150变成弧度是-d .化成度为15ca的情况下，60=60=； 对于b，-=-180