工程流体力学 禹华谦 习题答案 第6章

第六章理想流体动力学6-1平面非压缩流体速度分布为Vx=4x 1； Vy=-4y(1)该流程是否满足连续性方程式？ (2)是否有势函数、流函数？ (3)求、解： (1)流为了满足连续性方程式(因为z=()=0，流是有势的，并且存在电势函数，因为它满足连续性方程式，所以存在流函数(Vx=4x 1)vy=fufu-4 yd=dxdy=vxdxvydy=(4x1) dx (-4 y ) dy=d=dxdy=vxdxvydy=(4x1) dx (-4 y ) dy=2x2-2y2 xd=dx dy=-Vydx Vxdy=4ydx (4x 1)dy=d=dxdy=-vydxvxdy=4y dx (4x1) dy=4xy y6-2平面非压缩流体速度分布：Vx=x2-y2 x； Vy=-(2xy y )(1)流动是否满足连续性方程？ (2)是否有势函数、流函数？ (3)求、。解： (=2x 1-(2x 1)=0，因此该流满足连续性方程式，不存在流(因为z=()=0，所以流具有势能，存在势能函数，由于该流满足连续性方程式，所以也存在流函数。(Vx=x2-y2 x，Vy=-=-(2xy y )。d=dxdy=vxdxvydy=(x2-y2x ) dx (-(2xyy ).dy=d=dxdy=vxdxvydy=(x2-y2x ) dx (-(2xyy ) ) dy=-xy2 (x2-y2 )/2d=dx dy=-Vydx Vxdy=d=dxdy=-vydxvxdy=(2xyy ) dx (x2-y2x ) dy=x2yxy-y3/36-3平面非压缩流体速度势能函数=x2-y2-x求出流场中A(-1，-1)和b (2，2 )点的速度值和流函数值由于解：满足连续性方程式，且由于Vx=2x-1，Vy=，因此流程满足流程函数d=dx dy=-Vydx Vxdy=d=dxdy=-vydxvxdy=2y dx (2x-1 ) dy=2xy-y在点(-1，-1)处Vx=-3； Vy=2； =3在点(2，2 )处Vx=3 Vy=-4； =6已知6-4平面流动速度势能函数=-lnr，写速度分量Vr、V和q是常数。: Vr=-，V=0已知6-5平面流动速度势能函数=-m C，写速度分量Vr、V和m是常数解： Vr=0、V=-知道6-6平面流动流函数=x y，计算其速度、加速度、线变形率xx、yy，求出速度势能函数.解： Vx=1vy=fufu-1d=dx dy=Vxdx Vydy=d=dxdy=vxdxvydy=dx (-1 ) dy=x-yax=；ay=知道6-7平面流动流函数=x2-y2，计算其速度、加速度，求出速度势能函数.解： Vx=-2yvy=fufu2xd=dx dy=Vxdx Vydy=d=dxdy=vxdxvydy=-2y dx (-2x ) dy=-2xyax=xay=y；6-8平面稳态流的流函数为求出速度分布，写出通过a (1，0 )和B(2)两点的流线方程式解：在平面上的任意点处的速度向量的大小为与x正交的角度。在a点的流函数值，通过a点的流线方程式为。 通过b点的流线方程也同样可以求解。6-9已知流函数=V(ycos-xsin)计算其速度、加速度、角变形率(=() )，求出速度势能函数.解： Vx=Vcosvy=vsisd=dx dy=Vxdx Vydy=d=dxdy=vxdxvydy=vcosdxs isdy=V(cosx sisy )ax=ay=；=()=06-10 .证明未压缩不旋流的势函数是调和函数。解：非压缩三维流动的连续性方程把关系代入上式得到或者可以看出，不可压缩且势头强劲的流势函数是调和函数。6-11什么样的平面流有流函数？:非压缩平面的流动满足连续性方程或者平面流有流函数6-12什么样的空间流有势函数？:是在空间流中，当各点处旋转角速度矢量=i j k为零矢量、即关系成立时，在这样的空间流中存在电势函数.6-13计算已知流函数=-、流场速度.解： Vr=-。v求出6-14平面非压缩流体速度势函数=ax(x2-3y2)、a0、流速和流函数，求出通过连接a (0，0 )和b (1，1 )两点的直线区间的流体流量.了解： Vx=a(3x2-3y2)vy=fufu-6 a xyd=dxdy=-vydxvxdy=6ax Yida (3x2-3 y2 ) dy=d=dx dy=-Vydx Vxdy=6axydx (3x2-3y2)dy=3x2y-ay3a (0，0 )点A=0； b (1，1 )点B=2a，q=A-B=-2a如果是6-15平面非压缩流体流动函数=ln(x2 y2 )，则试着求出该流动的势能函数.解： Vx=Vy=-=-哼哼d=dx dy=Vxdx Vydy=dx-dyVxdx Vydy=dx-dy=-26-16两个平面势流叠加得到的新平面势流势函数和流函数如何求解？解：假设在两个平面上分别有平面的电势流，这些电势函数分别有，流函数分别有。 现在，将两个平面重叠起来，得到新的平面流。 这股新潮与原来的两个平面的潮流不一样。 合成流仍然是势头流，其势能函数可以用下式求出同样，合成流的流函数在6-17平面直角系统中，平面上有势的流势函数和流函数与速度分量有什么关系？解：是平面直角系数，平面上有势流的势能函数和流函数与速度分量有以下关系6-18什么是平面势均力敌的等电位线？ 和平面流线有什么关系呢？在平面稳定电势流之中，电势函数只是x，y的二元函数，当等于常数时，得到的方程表示平面曲线，称为二维电势流的等势线。 在平面流动中，平面上的等电位线与流线正交。试制了在6-19方向上流动均匀流动(V=Vy=C=V)的速度势能函数、流动函数.解： Vx=0vy=d=dx dy=Vxdx Vydy=0dx Vdy =Vyd=dx dy=-Vydx Vxdy=- Vdx - Vx6-20平面非压缩流体速度分布： Vx=x-4y； Vy=-y-4x试点计划：(1)该流满足连续性方程式，(2)该流有势，求，(3)求解： (1-1=0，因此该流满足连续性方程，存在流函数(z=()=0，因此流动有势，存在势函数.Vx=x-4yvy=fufu-y-4xd=dxdy=vxdxvydy=(x-4y ) dx (-y-4x ) dy=d=dxdy=vxdxvydy=(x-4y ) dx (-y-4x ) dy=d=dxdy=-vydxvxdy=(y4x ) dx (x-4y ) dy=d=dxdy=-vydxvxdy=(y4x ) dx (x-4y ) dy=xy 2(x2-y2 )知道6-21平面流动流函数=arctg，试着求出该流动势函数.解： Vx=Vy=-=d=dx dy=Vxdx Vydy=dx dy=d=dx dy=Vxdx Vydy=dx dy=证明6-22以下两流场相同，()=x2 x-y2、()=2xy y证明：对()=x2 x-y2Vx=2x 1Vy=-2y对() =2xy yVx=2x 1vy=fu-2 y看到了和代表一样的趋势已知在6-23轴上的距离a的两点配置两个点源，最初的强度为2q的点源位于原点，第二个强度为q的点源位于(a，0 )，求出流动的速度分布(q0)。解：这两个流的电势函数分别表示合成流的电势函数()=如图6-24所示，在平面上具有一对等强度的点涡旋，其方向相反，位于(0，h )、(0，h )的两个固定点，在平面上具有无穷远与x轴平行的到来流，求出合成速度在原点的值。在解：平面上的无穷远处与x轴平行的到来流中，上下两点涡的势能函数分别为、因此平面流的势能函数为代入原点坐标(0，0 )得到.如图6-25所示，将速度与x轴平行的均匀流动和原点强度为q的点源重合，求出重合后的流场的驻点位置。因为解：的均匀流动和在原点的强度为q的点处的电势函数分别是和的，所以平面流中的电势函数可以表示为如图6-26所示，使速度平行于x轴的均匀流动和原点强度为q的点源重合，求出通过重合后的流场的驻点位置和驻点的流线方程式.解：首先计算流场的驻点位置均匀流动和原点处强度为q点处的势能函数分别为和，所以平面流动的势能函数为，可以得到。由于均匀流和原点强度q点的流函数分别是，因此平面流动的流函数是驻点，所以通过驻点的流线方程式为=0将6-27强度为10的点源和强度为-10的点集分别置于(1，0 )和(-1，0 )，与速度为25的x轴负方向的均匀流合成，求出流场的定