《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第三章

1 第三章第三章 习题 3-1习题 3-1 1 设 s= 1 2 gt ，求 2 d d t s t 解： 2 22 2 1 2 1 4 ( )(2) 2 limlim 22 tt t gg dss ts dttt t 2 1 lim(2)2 2 t g tg 2 设 f(x)= 1 x ，求 f (x0) (x00) 解： 1 2 11 ( )( )()fxx xx 00 2 0 1 ()(0)fxx x 3试求过点（3，8）且与曲线 2 yx相切的直线方程。 解 ： 设 切 点 为 00 (,)xy， 则 切 线 的 斜 率 为 0 0 2 x x yx ， 切 线 方 程 为 000 2()yyx xx。由已知直线过点(3,8),得 000 82(3)yxx(1) 又点 00 (,)xy在曲线 2 yx上，故 2 00 yx(2) 由(1),(2)式可解得 00 2,4xy或 00 4,16xy，故所求直线方程为 44(2)yx或168(4)yx。也即440 xy或8160 xy。 4 下列各题中均假定 f(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出 A 表示什么： (1) 0 lim x 00 ()()f xxf x x =A; (2) f(x0)=0, 0 lim xx 0 ( )f x xx A； (3) 0 lim h 00 ()()f xhf xh h =A 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 2 解：(1) 0000 0 00 ()()()() limlim() xx f xxf xf xxf x fx xx 0 ()Afx (2) 00 0 0 00 ( )()( ) limlim() xxxx f xf xf x fx xxxx 0 ()Afx (3) 00 0 ()() lim h f xhf xh h 0000 0 ()() ()() lim h f xhf xf xhf x h 0000 00 ()()()() limlim hh f xhf xf xhf x hh 000 ()()2()fxfxfx 0 2()Afx 5 求下列函数的导数： (1) y=x；(2) y= 32 1 x ；(3) y= 322 5 xx x 解：(1) 1 2 yxx 11 22 11 () 22 yxx x (2) 2 3 yx 225 1 333 35 222 () 33 3 yxxx x (3) 215 2 362 yxxxx 15 66 65 11 () 6 6 yxx x 6 讨论函数 y= 3 x在 x=0 点处的连续性和可导性 解： 3 0 lim0(0) x xf 3 32000 ( )(0)01 limlimlim 0 xxx f xfx xx x 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 3 函数 3 yx在0 x 点处连续但不可导。 7 如果 f(x)为偶函数，且 f(0)存在，证明 f(0)=0 证：( )f x为偶函数 ()( )fxf x 00 ( )(0)()(0) (0)limlim 00 xx f xffxf f xx 0 ()(0) lim(0) 0 x fxf f x ，即2(0)0f 故(0)0f 8 求下列函数在 x0处的左、右导数，从而证明函数在 x0处不可导： (1) y 0 3 sin ,0, 0 ,0, x x x xx ；(2) y= 1 0 ,0, 0 1 e 0,0, x x x x x ； (3) y= 0 2 ,1, 1 ,1, x x x xx 解：(1) 3 2 000 ( )(0)0 (0)limlimlim0 0 xxx f xfx fx xx 00 ( )(0)sin0 (0)limlim1 0 xx f xfx f xx (0)(0)ff 函数在0 x 处不可导。 (2) 1 1 000 0 ( )(0)1 1 (0)limlimlim1 0 1 x xxx x x f xf e f xx e 1 00 ( )(0)1 (0)limlim0 0 1 xx x f xf f x e (0)(0)ff 函数在0 x 处不可导。 (3) 2 111 ( )(1)1 (1)limlimlim(1)2 11 xxx f xfx fx xx 111 ( )(1)111 (1)limlimlim 1121 xxx f xfx f xxx 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 4 (1)(1)ff 函数在1x 处不可导。 9 已知 f(x) sin ,0, ,0, x x x x 求 f(x) 解：当0 x 时，( )(sin )cosfxxx， 当0 x 时，( )( )1fxx 00 ( )(0)sin (0)limlim1 0 xx f xfx f xx 00 ( )(0) (0)limlim1 0 xx f xfx f xx (0)1 f 综上所述 cos ,0, ( ) 1,0. x x fx x 10 设函数 f(x)= 2, 1, ,1. xx axb x 为了使函数 f(x)在 x=1 点处连续且可导，a，b 应取什么值? 解：为使( )f x在1x 处连续，必须(1 0)(1 0)(1)fff， 11 (1 0)lim( )lim() xx ff xaxbab 2 11 (1 0)lim( )lim1 xx ff xx ，(1)1f 11abba (1) 为了使( )f x在1x 处可导，必须(1)(1)ff 111 ( )(1)1 (1)limlimlim 111 xxx f xfaxbaxa fa xxx 2 111 ( )(1)1 (1)limlimlim(1)2 11 xxx f xfx fx xx 2a，代入（1）式得1b 当2a ，1b 时( )f x在1x 处连续且可导。 11 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性： (1) y=sinx，x=0; 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 5 (2) y= 2 1 sin,0, 0 0,0, xx xx x 点； (3) y= ,1, 1 2,1, x x x x x 点 解：(1) 000 lim( )lim sinlimsin0(0) xxx f xxxf ( )f x在0 x 处连续。 又 00 sin limlim xx xy xx 00 sinsin limlim1 xx xx xx 00 sinsin limlim1 xx xx xx 所以 0 lim x y x 不存在，即( )f x在0 x 处不可导。 (2) 2 00 1 lim( )limsin0(0) xx f xxf x ( )f x在0 x 处连续。 2 000 1 sin0 ( )(0)1 limlimlim sin0 0 xxx x f xf x x xxx ( )f x在0 x 处可导。 (3) + 11 lim( )lim(2)1 xx f xx - 11 lim( )lim1 xx f xx 而(1)1f (1 0)(1 0)(1)fff 故( )f x在1x 处连续。 111 ( )(1)211 (1)limlimlim1 111 xxx f xfxx f xxx 11 ( )(1)1 (1)limlim1 11 xx f xfx f xx (1)(1)ff 故( )f x在1x 处不可导。 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 6 12 证明： 双曲线 xya 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a 2 证： 设 00 (,)p xy是双曲线 2 xya上任一点， 则 2 00 x ya， 该双曲线在 00 (,)p xy 处切线的斜率 0 2 000 22 000 x x x yya ky xxx 该双曲线在 00 (,)p xy 处切线的方程为： 0 00 0 () y yyxx x 令0 x 得该切线在y轴上的截距为 0 2y， 令0y得该切线在x轴上的截距为 0 2x，于是，它与两坐标轴构成的三角形 的面积 22 0000 1 22222 2 syxx yaa。 13 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间 t 的关系式为h(t)10t 1 2 gt (m)，求： (1) 物体从 t=1(s)到 t=12(s)的平均速度； (2) 速度函数 v(t)； (3) 物体何时到达最高点 解：(1) 22 11 (10 1.29.8 1.2 )(10 19.8 1 ) (1.2)(1) 22 1.2 10.2 hh v 0.78(m/s) (2)( )( )10v th tgt (3)当( )0v t时，物体到达最高点。 由( )0v t即100gt得 1050 ( ) 49 ts g 即上抛 50 49 时物体到达最高点。 14 设物体绕定轴旋转，在时间间隔0,t内，转过角度，从而转角是 t 的函数； (t)如果旋转是匀速的，那么称 t 为该物体旋转的角速度如果旋转是非匀速 的，应怎样确定该物体在时刻 t0的角速度? 解：设从时刻 0 t到 0 tt间转过的角度为，则 00 ()( )ttt 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 7 物体在时刻 0 t的角速度为 0 0 ( )lim t t t dd t dtdt 。 15 设（T）表示重 1 单位的金属从 0加热到 T所吸收的热量，当金属从 T 升温到(T+T）时，所需的热量为（TT）（T） ，与T 之比称 为 T 到 T+T 的平均比热试解答如下问题： (1) 如何定义在 T时，金属的比热； (2) 当（T）=aTbT (其中 a，b 均为常数)时，求比热 解：(1)应以 00 ()( ) limlim TT QQ TTQ TdQ TTdT 定义金属的比热； (2)当 2 ( )Q TaTbT时，比热为2 dQ abT dT 。 16已知 f(x)在 x=x点可导，证明： 00 0 ()() lim h f xhf xh h =()f(x0) 证：当0，0时， 00 0 ()() lim h f xhf xh h 0000 0 ()() ()() lim h f xhf xf xhf x h 0000 00 ()() ()() limlim hh f xhf xf xhf x hh 000 ()()()()fxfxfx 习题 3-2习题 3-2 1 求下列函数的导数： (1) s=3lnt+sin 7 ；(2) y=xlnx; (3) y=(1-x )sinx(1-sinx); (4) y= 1 sin 1 cos x x ；(5) y=tanx+e ； (6) y= secx x -3secx;(7) y=lnx-2lgx+3log2x; (8) y= 2 1 1xx 解：(1) 3 s t (2)(ln )() ln(ln )yxxxxxx lnln1 22 xxx xxxx ln2 2 x x 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 8 (3) 22 (1) sin(1 sin )(1)(sin ) (1 sin )yxxxxxx 2 (1) sin(1 sin )xxx 22 2 sin (1 sin )(1)cos (1 sin )(1)sin ( cos )xxxxxxxxx 222 2 sin2 sincoscossin2sin2xxxxxxxxxx (4) 2 (1 sin ) (1 cos )(1 sin )(1 cos ) (1 cos ) xxxx y x 22 cos (1 cos )(1 sin )sin1 sincos (1 cos )(1 cos ) xxxxxx xx (5) 22 (tan )()sec0secyxexx (6) 2 secsec tansec ()3(sec )3sec tan xxxxx yxxx xx (7) 2 (ln )2(lg )3(log)yxxx 123123 (1) ln10ln2ln10ln2xxxx (8) 2 2222 (1)21 (1)(1) xxx y xxxx 2 求下列函数在给定点处的导数： (1) y=xsinx+ 1 2 cosx，求 4 d d x y x ； (2) f(x)= 3 5x + 2 5 x ,求 f(0)和 f(2); (3) f(x)= 2 54,1, 43 ,1, xx xx x 求 f(1) 解：(1) 11 sincossinsincos 22 dy xxxxxxx dx 4 13 sincos(1) 244442 x dy dx (2) 22 3(5)232 ( ) (5)5(5)5 x fxxx xx 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 9 317 (0),(2) 2515 ff (3) 111 ( )(1)(54) 15(1) (1)limlimlim5 111 xxx f xfxx f xxx 2 111 ( )(1)431(41)(1) (1)limlimlim 111 xxx f xfxxxx f xxx 1 lim(41)5 x x (1)(1)(1)5fff 3 设 p(x)=f1(x)f2(x)fn(x)0,且所有的函数都可导，证明 12 12 ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) n n fxfxfxp x p xf xfxfx 证： 12123 ( )( )( )( )( )( )( )( ) nn p xfx fxfxf x fx fxfx 121 ( )( )( )( ) nn f x fxfx fx ( ) ( ) p x p x 1212311 12 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) nnnn n fx fxfxf x fx fxfxf xfx fx f x fxfx 12 12 ( )( )( ) ( )( )( ) n n fxfxfx f xfxfx . 4 求下列函数的导数： (1) y= 3 e x ;(2) y=arctanx 2； (3) y= 21 e x (4) y=(1+x 2)ln(x+2 1x); (5) y=x 2sin 2 1 x ;(6) y=cos 2ax3(a 为常数)； (7) y=arccos 1 x ;(8) y=(arcsin 2 x ) 2; (9) y= 2 1 ln x;(10) y=sinnxcosnx; (11) y= 11 11 xx xx ；(12) y=arcsin 1 1 x x ； (13) y=lncosarctan(shx); 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 10 (14) y= 2 x 22 ax 2 2 a arcsin x a （a0 为常数） 解：(1) 33 (3 )3 xx yexe ; (2) 2 44 12 () 11 x yx xx ; (3) 2121 1 ( 21)(21) 2 21 xx yexex x 2121 11 2 2 2121 xx ee xx ; (4) 2222 (1) ln(1)(1) ln(1)yxxxxxx 2 22 2 1 2 ln(1)(1) 1 x xxxxx xx 2 2 22 11 2 ln(1)(12 ) 12 1 x xxxx xxx 22 2 22 11 2 ln(1) 11 xxx xxx xxx 22 2 ln(1)1xxxx; (5) 22 22 11 () sin(sin)yxx xx 2 222 111 2 sincos()xx xxx 2 223 112 2 sincosxx xxx 22 121 2 sincosx xxx (6) 33333 2cos(cos)2cos( sin)()yaxaxaxaxax 23 3sin2axax ; (7) 2 222 2 111 ( ) 1 11 1 xx y xx xxx x 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 11 (8) 22 2arcsin 1 2 2arcsin(arcsin)2arcsin( ) 2222 4 1 4 x xxxx y xx ; (9) 2 222 111ln (1 ln)2ln 2 1 ln2 1 ln1 ln x yxx x xxxx ; (10) 1 sincoscossin( sin) nn ynxxnxxnx n 1 sin(cos cossin sin) n nxxnxxnx 1 sincos(1) n nxn x ; (11) 2 ( 11) ( 11)( 11)( 11) ( 11) xxxxxxxx y xx 2 1111 ()( 11)( 11)() 2 12 12 12 1 ( 11) xxxx xxxx xx 22 2 22 ( 11)( 11)2 2 11( 11) 1( 11) xxxx xxxx xxx 2222 21 1(22 1)11xxxx ; (12) 11111 ()() 12111 12 11 xxx y xxxxx xx 2 111(1)(1) 1 221(1) xxxx xxx 2 1112 221(1) xx xxx 1 (1) 2 (1)xxx ; (13) 1 (cosarctan() cosarctan() yshx shx 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 12 1 ( sinarctan() (arctan() cosarctan() shxshx shx 2 1 tanarctan()() 1 shxshx sh x 22 1 shxshx chx chxthx sh xch x (14) 2 22 22 2 1211 222 2 1 ( ) xxa yax ax ax a 2222 2222 2 22 axxa axax 22 ax; 5 y=arccos 3 3 x 6x x ，求 3x y 解： 2 1316 ()2() 36 (3) 2 1 9 xx y xx x x 2 2 11( 1)(6) 1 36 (3) 1 9 xxx xx x 2 2 16 6 9(3) x xx x 3 2 1631 9633 90 x y 6 试求曲线 y= x e 3 1x在点(0，1)及点(-1，0)处的切线方程和法线方程 解： 2 3 3 1 ( 1)1(1) 3 xx yexex 3 2 3 1 (1) 3 (1) x ex x 0 2 3 x y 故曲线在(0,1)点的切线斜率 2 3 k 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 13 曲线在(0,1)点的切线方程为 2 1 3 yx 即2330 xy 法线方程为 3 1 2 yx 即3220 xy 又 1x y 此时，曲线具有垂直于 x 轴的切线 x=-1,其法线为 y=0. 7 设 f(x)可导，求下列函数 y 的导数 d d y x ： (1) y=f(x 2)；(2) y=f(sin2x)+f(cos2x) 解：(1) 222 () ()2() dy fxxxfx dx (2) 2222 (sin) (sin)(cos) (cos) dy fxxfxx dx 22 (sin) 2sin cos(cos) 2cos ( sin )fxxxfxxx 22 sin2 (sin)(cos)x fxfx 8 求下列隐函数的导数： (1) x 3+y3-3axy=0; (2) x=yln(xy); (3) xey+yex=10；(4) ln(x 2+y2)=2arctany x ; (5) xy=ex y 解：(1)方程两边对 x 求导，得： 22 33330 xyyayaxy 解得 2 2 xay y axy 2 (0)axy (2) 方程两边对 x 求导，得： 1 1ln()()yxyyxyy xy 即1ln() y yxyy x 即 1 ln() xy y xxy ( 1 ln()0)xxy (3) 方程两边对 x 求导，得： 0 yyxx exeyy eye 解得(0) yx yx yx eye yxee xee 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 14 (4) 方程两边对 x 求导，得： 2222 2 11 (22)2 1 xyy xy y yxyx x 即 2222 xy yxyy xyxy 即xy yxyy 即(0) xy yxy xy (5) 方程两边对 x 求导，得： (1) x y yxyey 解得 x y x y ey y xe (0) x y xe 9 用对数求导法求下列函数的导数： (1) y= 4 5 2 (3) (1) xx x ；(2) y= cos sin x x; (3) y= 2 e (3) (5)(4) x x xx 解：(1)两边取得对数，得： 1 lnln(2)4ln(3)5ln(1) 2 yxxx 上式两边对 x 求导，得： 1115 2(2)4(3)1 y yxxx 所以 4 5 2 (3)115 () (1)2(2)4(3)1 xx y xxxx (2) 两边取得对数，得： lncoslnsinyxx 上式两边对 x 求导，得： 11 ( sin ) lnsincoscos sin yxxxx yx 即 2 1cos sinlnsin sin x yxx yx 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 15 所以 2 cos cos sin(sinlnsin ) sin x x yxxx x (3) 两边取得对数，得： 11 ln2ln(3)ln(5)ln(4) 22 yxxxx 上式两边对 x 求导，得： 1111 2 32(5)2(4) y yxxx 2 (3)111 (2) 32(5)2(4)(5)(4) x ex y xxxxx 10 求下列参数方程所确定的函数的导数 d d y x (1) cossin, sincos, xabtbat yabtbat （a,b 为常数） ； (2) (1 sin ), cos . x y 解：(1) cossincossin sincoscossin dy dyabbtabatbtat dt dx dxabbtabatatbt dt (2) cossincossin 1 sin( cos )1 sincos dy dy d dx dx d 11 已知 e sin , e cos , t t xt yt 求当 t= 3 时 d d y x 的值 解： cossincossin sincoscossin tt tt dy dyetettt dt dx dxetettt dt 3 cossin 13 33 32 13 cossin 33 t dy dx 习题3-3习题3-3 1 设 f(x)=ln(1+x),求 f (n)(x) 解： 1 ( ) 1 fx x ， 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 16 2 1 ( ) (1) fx x ， 23 12 ( ) (1)(1) fx xx 设 ( )1( 1)! ( )( 1) (1) kk k k fx x 则 (1)( )11 ( )( )( 1)(1)!()(1) kkkk fxfxkkx 1 ! ( 1) (1) k k k x 由数学归纳法知 1( 1)! ( )( 1) (1) nn n n fx x 1,2,3,n . 2 设 y= 1 axb ,a0，求 y (n)，并由此求 f(x)= 2 1 1x 的 n 阶导数 f (n)(x) 解： 12 () ( 1)()yaxbaxba 23223 ()( 1)( 2)()( 1) 2!()yyaaxbaaxb 334 ()( 1) 3!()yya axb 设 ( )(1) ( 1)!() kkkk yk aaxb 则 (1)( )(2) ()( 1)! (1)() kkkkk yyk akaxba 11(2) ( 1)(1)!() kkk kaaxb 由数学归纳法知 ( )(1) ( 1)!() nnnn yn aaxb 1,2,n . 由上述结论有 (1) 1 11 ()( 1)!(1)( 1)! 1(1) nnnn n n xn xx (1) 1 11 ()( 1)!(1)( 1)! 1(1) nnnn n n xn xx 而 2 1111 ( )() 12 (1)(1) f x xxx ( ) 1111 ( )()() 2121 nnn fx xx 11 ( 1)!11 () 2(1)(1) n nn n xx 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 17 3 求下列函数在指定点的高阶导数： (1) f(x) 2 1 x x ，求 f(0)； (2) f(x) 21 e x ，求 f(0)，f (3)(0)； (3) f(x)=(x+10) 6,求 f(5)(0),f(6)(0) 解：(1) 2 22 22 22 1 121 2 11 ( ) 11 x xxxx xx fx xx 3 2 2 22 1 (1) (1) 1 x xx 5 2 2 3 ( )(1)2 2 fxxx 5 2 2 3 (0)(1 0 )2 00 2 f (2) 2121 ( )(21)2 xx fxexe , 21 ( )4 x fxe (3)21 ( )8 x fxe 2 0 1 4 ( )4fxe e , (3)2 0 1 8 (0)8fe e (3) 54 ( )6(1) ,( )6 5(1)fxxfxx 3(4)2 ( )6 5 4(1) ,( )6 5 4 3(1)fxxfxx (5)(6) ( )6 5 4 3 2(1),( )6 5 4 3 2 16!fxxfx (5)(6) (0)6 5 4 3 2 16!720,(0)6!720ff 4 求下列方程所确定的隐函数 y=y(x)的二阶导数 2 2 d d y x ： (1) b 2x2+a2y2=a2b2; (2) y=1+xey; (3) y=tan(x+y);(4) y 2+2lny=x4 解：(1)方程两边对 x 求导，得： 22 220b xa y y(*) 由此得 2 2 b x y a y ， 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 18 (*)式两边再对 x 求导，得： 2222 2220ba ya y y，将 2 2 b x y a y ，并注意到 222222 b xa ya b 得 2224222222 4343 () a b yb xba yb x y a ya y 2224 4323 b a bb a ya y (2) 方程两边对 x 求导，得： yy yexey(*)解得 12 yy y ee y xey (*)式两边再对 x 求导，得： 2 2 yyy yeyxeyxey 得： 2 222 3 2(1) 2(3)2(2) 12(2) yy y yyy y ee ey eyxeyeyyy y xeyy ； (3) 方程两边对 x 求导，得： 2 sec () (1)yxyy,可解得： 2 2 2 sec () csc () 1 sec () xy yxy xy 2csc() csc() cot()(1)yxyxyxyy 22 2csc () cot()1 csc ()xyxyxy 22 2csc () cot() cot ()xyxyxy 23 2csc () cot ()xyxy ； (4) 方程两边对 x 求导，得： 3 2 24y yyx y ,可解得 3 2 2 1 x y y y 32323 222 2(62)(1)22 () 1(1) x yx yx yyx yy y y yy 33 23232 22 22 22 (62)(1)4 11 (1) x yx y x yxyx y yy y 2226263 2 3 6(1)4(1)8 (1) x yyx yyx y y 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 19 222663 2 3 6(1)44 (1) x yyx yx y y 5 求下列由参数方程所确定函数的二阶导数 2 2 d d y x ： (1) (sin ), (1 cos ), xa tt yat a0 为常数； (2) ( ), ( )( ), xf t ytf tf t 其中 f(t)存在且非 解：(1) (1 cos )sinsin (sin )(1 cos )1 cos dyatatt dxa ttatt 得到参数方程 (sin ) sin ( ) 1 cos xa tt t y x t 故 2 2 sin1 () 1 cos1 cos ( ) (sin )(1 cos ) t d y tt y x dxa ttat 2 1 (1 cos )at ； (2) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) dytf tf tf ttftf t t dxf tft 得到参数方程 ( ) ( ) xf t y xt 故 2 2 ( )1 ( )( ) d yt dxf tft 6 已知 f(x)存在，求 2 2 d d y x ： (1) y=f(x 2)；(2) y=lnf(x),f(x) 解：(1) 2 () 2 dy fxx dx 2 22 2 () 22() 2 d y fxxxfx dx 222 4()2()x fxfx (2) 1( ) ( ) ( )( ) dyfx fx dxf xf x 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供，查看其他章节请点击h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t /h t m l /69/n -69.h t m l 20 22 222 ( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) d yfxfxf xfxfxfxf xfx dxf xfxfx 7 设 y=y(x)的反函数为 x=x(y),且 y(x)0,y(x)存在，试由反函数导数公式 d1 d( ) x yy x 导出 2 2 d d x y 3 () y y 证： 2 223 11 ()() ()() d xddxddxyy dydy dydx ydyyyy 8 试用数学归纳法证明莱布尼茨高阶导数公式： 若 u=u(x)和 vv(x)在点 x 处有 n 阶导数，则 (uv) (n)( )() 0 C n kkn k n k uv ， 其中 u (0)=u,v(0)=v, Ck n (1)(1) ! n nnk k 证：当1n 时，由()uvu vuv知公式成立， 设当nk时公式成立，即 ( )()( )( )(1)(2)( ) 0 (1) 2! k kik iikkkk k i k k yC uvuv