高二数学函数的最值与导数

3.3.3函数的最大(小)值与导数,一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值；如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。极大值与极小值统称为极值。,一、函数极值的定义：,复习:,如果x0是f(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f(x)0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值。,如果x0是f(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f(x)0，在x0右侧附近f(x)0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值；,(1)求导函数f(x)；(2)求解方程f(x)=0；(3)列表:检查f(x)在方程f(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.,口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。,二、用导数法求解函数极值的步骤：,一.最值的概念(最大值与最小值),新课讲授,如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的xI,总有f(x)f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值.,最值是相对函数定义域整体而言的.,1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一;,注意:,2.最大值一定比最小值大.,观察下面函数y=f(x)在区间a,b上的图象,回答:,(1)在哪一点处函数y=f(x)有极大值和极小值?,(2)函数y=f(x)在a,b上有最大值和最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么?,x1,x2,x3,x4,x5,极大:,x=x1,x=x2,x=x3,x=x5,极小:,x=x4,观察下面函数y=f(x)在区间a,b上的图象,回答:,(1)在哪一点处函数y=f(x)有极大值和极小值?,(2)函数y=f(x)在a,b上有最大值和最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么?,极大:,x=x1,x=x2,x=x3,极小:,a,b,x,y,x1,O,x2,x3,正确区分极值和最值(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值可以在极值点、不可导点、区间的端点取得，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，最值具有绝对性，极值具有相对性(2)函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大的值，最小值是所有函数值中的最小的值；极值只能在区间内取得；但最值可以在端点处取得；极值有可能成为最值(3)若连续函数在区间(a，b)内值只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值,正确理解“在闭区间a，b上连续的函数f(x)必有最值”此性质包括两个条件：,二.如何求函数的最值?,(1)利用函数的单调性;,(2)利用函数的图象;,(3)利用函数的导数;,如:求y=2x+1在区间1,3上的最值.,如:求y=(x2)2+3在区间1,3上的最值.,求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:,(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;,(2)将函数y=f(x)的各极值点与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内的最大值和最小值。,解:f(x)=2x-4,令f(x)=0，即2x4=0，,得x=2,-,+,3,11,2,故函数f(x)在区间1，5内的最大值为11，最小值为2,例2求函数在0,3上的最大值与最小值.,解:,令,解得x=2.,所以当x=2时,函数f(x)有极小值,又由于,所以,函数,在0,3上的最大值是4,最小值是,当0x0,1、函数，在1，1上的最小值为()A.0B.2C.1D.13/12,A,练习,2、,0，,3、函数（）,A.有最大值2，无最小值B.无最大值，有最小值-2C.最大值为2，最小值-2D.无最值,4、函数,A.是增函数B.是减函数C.有最大值D.有最小值,C,A,例3、已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1，(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由解析(1)由f(1)f(1)0，得3a2bc0,3a2bc0.又f(1)1，abc1.,例4、已知三次函数f(x)=ax-6ax+b.问是否存在实数a,b，使f(x)在-1,2上取得最大值3，最小值-29,若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由。,已知三次函数f(x)=ax-6ax+b.问是否存在实数a,b，使f(x)在-1,2上取得最大值3，最小值-29,若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由。,练习：1、已知函数f(x