假设检验的习题及详解包括典型考研真题

假设检验基本题型 有关检验统计量和两类错误的题型【例8.1】检验、检验都是关于 的假设检验.当 已知时，用检验；当 未知时，用检验.【分析】 由检验、检验的概念可知，检验、检验都是关于均值的假设检验，当方差为已知时，用检验；当方差为未知时，用检验. 【例8.2】设总体，未知，是来自该总体的样本，记，则对假设检验使用的统计量 （用表示）；其拒绝域 .【分析】未知，对的检验使用检验，检验统计量为对双边检验，其拒绝域为. 【例8.3】设总体，总体，其中未知，设是来自总体的样本，是来自总体的样本，两样本独立，则对于假设检验，使用的统计量为 ，它服从的分布为 .【分析】记，,因两样本独立，故相互独立，从而在成立下，故构造检验统计量 .【例8.4】设总体，未知，是来自该总体的样本，样本方差为，对，其检验统计量为 ，拒绝域为 .【分析】未知，对的检验使用检验，又由题设知，假设为单边检验，故统计量为，从而拒绝域为.【例8.5】某青工以往的记录是：平均每加工100个零件，由60个是一等品，今年考核他，在他加工零件中随机抽取100件，发现有70个是一等品，这个成绩是否说明该青工的技术水平有了显著性的提高（取）？对此问题，假设检验问题应设为 【 】. . .【分析】一般地，选取问题的对立事件为原假设.在本题中，需考察青工的技术水平是否有了显著性的提高，故选取原假设为，相应的，对立假设为，故选.【例8.6】某厂生产一种螺钉，标准要求长度是68mm，实际生产的产品，其长度服从，考察假设检验问题.设为样本均值，按下列方式进行假设检验：当时，拒绝原假设；当时，接受原假设.（1）当样本容量时，求犯第一类错误的概率；（2）当样本容量时，求犯第一类错误的概率；（3）当不成立时（设），又时，按上述检验法，求犯第二类错误的概率.【解】（1）当时， .（2）当时， .（3）当，又时，这时犯第二类错误的概率 .【评注】（1）（2）的计算结果表明：当增大时，可减小犯第一类错误的概率； 当，时，同样可计算得到. 当，时，则.这表明：当原假设不成立时，参数真值越接近于原假设下的值时，的值就越大.【例8.7】设总体，是来自该总体的样本，对于检验，取显著性水平，拒绝域为：，其中，求：（1）当成立时，求犯第一类错误的概率；（2）当不成立时，求犯第二类错误的概率.【解】（1）当成立时，则因，故，从而，即犯第一类错误的概率不大于.（2） 因，故当时，即与假设偏离越大，犯第二类错误的概率越小；而当时，即当为正值且接近0时，犯第二类错误的概率接近.基本题型 单个正态总体的假设检验【例8.8】某天开工时，需检验自动包装机工作是否正常，根据以往的经验，其包装的质量在正常情况下服从正态分布（单位：kg），先抽测了9包，其质量为：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.0，100.5问这天包装机工作是否正常？ 【分析】 关键是将这一问题转化为假设检验问题.因检验包装机工作是否正常，化为数学问题应为双边检验. 【解】由题意，提出假设检验问题：，选取检验统计量当时，又，即接受原假设，认为包装机工作正常. 【例8.9】已知某种元件的寿命服从正态分布，要求该元件的平均寿命不低于，现从这批元件中随机抽取25知，测得平均寿命，标准差，试在水平下，确定这批元件是否合格. 【解】由题意，未知，在水平下检验假设属于单边（左边）检验.构造检验统计量 ，其中，查分布表可得：，又.即接受原假设，认为这批元件是合格的. 【例8.10】某厂生产的一中电池，其寿命长期以来服从方差的正态分布，现有一批这种电池，从生产的情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机地抽取26只电池，测得寿命的样本方差，问根据这一数据能否推断这批电池寿命的波动性较以往有显著性的变化（取）. 【解】 检验假设，选取统计量，由，查分布表可得，又统计量，故拒绝原假设，即认为这批电池寿命的波动性较以往有显著性的变化.【例8.11】 某种导线，要求其电阻的标准不得超过0.005（欧姆），今在生产的一批导线中取样品9根，测得（欧姆），设总体为正态分布，问在水平下，能否认为这批导线的标准差显著性地偏大？【解】本题属于总体均值未知，正态总体方差的单边检验问题选取统计量当，时，查分布表可得：，又题设，则统计量.故拒绝原假设，认为这批导线的标准差显著性地偏大.【例8.12】 机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋盐的标准重量为500克，标准差不超过10克.某天开工以后，为了检查机器工作是否正常，从已包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其重量（克）为：497，507，510，475，484，488，524，491，515问这天自动包装机工作是否正常（显著性水平）？ 【解】 设每袋盐重量为随机变量，则，为了检查机器是否工作正常，需检验假设：及.下面现检验假设由于未知，故构造统计量由于，查分布表可得，又由题设计算可得，故统计量取值即接受原假设，认为机器包装食盐的均值为500克，没产生系统误差.下面在检验假设选取统计量，由于，查分布表可得，而统计量，故拒绝原假设，接受，即认为其标准差超过了10克. 由上可知，这天机器自动包装食盐，虽没有产生系统误差，但生产不够稳定（方差偏大），从而认为这天自动包装机工作不正常.基本题型 两个正态总体的假设检验 【例8.13】 下表给出了两个文学家马克吐温（Mark Twain）的8偏小品文以及斯诺特格拉斯（Snodgrass）的10偏小品文中由3格字母组成的词比例.马克吐温： 0.225，0.262，0.217，0.240，0.230，0.229，0.235，0.217斯诺特格拉斯：0.209，0.205，0.196，0.210，0.202，0.207，0.224，0.223，0.220，0.201设两组数据分别来自正态分布，且两总体方差相等，两样本相互独立，问两个作家所写的小品文中包含由3格字母组成的词的比例是否有显著性的差异（）？ 【分析】首先应注意题中的“比例”即“均值”的含义，因而本题应属于未知方差，却知其相等的两正态母体，考虑它们的均值是否相等的问题.【解】设题中两正态母体分别记为，其均值分别为,因而检验问题如下：选取统计量，其中，在时，查分布表可得由题设样本数据计算可得，.从而统计量值为，因而拒绝原假设，认为两个作家所写的小品文中包含由3格字母组成的词的比例有显著性的差异.【例8.14】据专家推测：矮个子的人比高个子的人的寿命要长一些，下面给出了美国31个自然死亡的总统的寿命.矮个子（身高小于5英尺8英寸）总统Modison Van Buren B.Harrison J.Adams J.Q.Adams身高54” 56” 56” 57” 57”寿命85 79 67 90 80高个子（身高大于5英尺8英寸）总统W.Harrison Plok Tayler Crant Hayes Truman Fillmore Pierce A.Johson身高58” 58” 58”58.5” 58.5” 59” 59” 510” 510”寿命 68 53 65 63 70 88 74 64 66总统T.Roosevelt Coolidge Eisenhower Cleveland Wilson Hoover Monroe Tyler身高510” 510” 510” 511” 511” 511” 6 6寿命 60 60 78 71 67 90 73 71总统Buchanan Taft Harding Jaskon Washington Arthur F.Roosevelt身高 6 6 6 61” 62” 62” 62”寿命 77 72 57 78 67 56 63设两个寿命总体均为正态分布且方差相等，试问以上数据是否符合上述推测（）？【解】设矮个子总统寿命为，高个子总统寿命为，需检验.由于未知，故选用统计量，其中，.由题设样本数据可得，故，从而统计量，又当时，查分布表可得，即，故拒绝原假设，即推测是正确的，认为矮个子的人比高个子的人的寿命要长一些【例8.15】总体，与分别时来自总体的样本，试讨论检验问题.【解】取统计量，其中，则检验统计量为，当成立时，有偏大的趋势，故取拒绝域为.【例8.16】甲乙相邻地段各取了50块和25块岩心进行磁化率测定，算出两样本标准差分别是，问甲乙两段的标准差是否有显著性差异（）？【解】作假设，由题设有，从而统计量，当，查分布表可得，因为，故拒绝原假设，即认为甲乙两段的标准差有显著性差异.【例8.17】在集中教育开课前对学员进行了测试，过来一段时间后，又对学员进行了与前一次同样程度的考查，目的是了解上次的学员与这次学员的考试分类是否有显著性差别（），从上次与这次学员的考试中随机抽取12份考试成绩，如下表考试次数考分合计平均分（1）80.5，91.0，81.0，85.0，70.0，86.0，69.5，74.0，72.5，83.0，69.0，78.594078.5（2）76.0，90.0，91.5，73.0，64.5，77.5，81.0，83.5，86.0，78.5，85.0，73.596080.0【解】此为双正态总体的假设检验，两总体均值未知，先检验假设.选取统计量，由题设可计算得，则统计量，取，查分布表可得,.由于，故在下，接受，即认为两次考试中学员的成绩的方差相等.再假设.构造统计量，其中，.由样本数据可得，故，从而统计量，在下，查分布表可得.由于，即认为两次考试中学员的平均成绩相等，从而认为两次考试中学员的成绩无显著性差异.基本题型 非正态总体参数假设检验【例8.18】某产品的次品率为0.17，现对此产品进行了新工艺试验，从中抽取400件检查，发现次品56间，能否认为这项新工艺显著性地影响产品质量（）？ 【解】检验问题由题设可知，构造统计量，当时，查正态分布表可得，因为，故接受原假设，认为新工艺显著性地影响产品质量.【评注】本题的理论依据时中心极限定理：当充分大时，在成立时，近似服从分布. 【例8.19】 已知某种电子元件的使用寿命服从指数分布，现抽查100个元件，得样本均值，能否认为参数（）？ 【解】由题设，故，当充分大时，现在检验问题，则，当时，查正态分布表可得，因为，故接受原假设，认为参数.【评注】总体，则当充分大时，近似服从分布. 【例8.20】对某干洗公司去除污点的比例做下列假设检验，选出100个污点，设其中去除的污点数为，拒绝域为.（1）当时，求犯第一类错误的概率；（2）当时，求犯第二类错误的概率. 【解】（1）由题设有 .（2） .【评注】从计算分析，这一检验法的，皆很小，是较好的检验.历年考研真题评析1、【98.1.4】设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，计算得到平均成绩为66.5，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生平均成绩为70分？并给出检验过程.【解】设该次考试的考生成绩为，则，设为从总体抽取的样本容量为的样本均值，为样本标准差，根据题意建立假设 .选取统计量 在时，. 选取拒绝域，其中满足，即.即. 由可以计算得统计量的值 .因此不能拒绝，即在显著性水平0.05下可以认为全体考生的平均成绩为70分.习题全解1、在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）.一日测得5炉铁水含碳量如下： 4.48，4.40，4.42，4.45，4.47在显著性水平下，试问该日铁水含碳量得均值是否有明显变化.【解】设铁水含碳量作为总体，则，从中选取容量为5的样本，测得.由题意，设原假设为构造检验统计量 ，则在显著性水平下，查表可得，拒绝原假设，即认为有显著性变化.2、根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm.该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：.经计算得, .试判断该厂是否符合环保法的规定.（该有毒化学物质含量X服从正态分布）【解】设有毒化学物质含量作为总体，则，从中选取容量为15的样本，测得，.由题意，设原假设为，备择假设为.构造检验统计量，则，在显著性水平下,查表可得，即拒绝原假设，接受备择假设，认为该厂不符合环保的规定.3、某厂生产需用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不应低于65.已知该指标服从正态分布，.从近期来货中抽查了100个样品，得样本均值，试问在水平上能否接受这批玻璃纸？【解】设玻璃纸的横向延伸率为总体，则，从中选取容量为100的样本，测得.由题意，设原假设为，备择假设为.构造检验统计量，则在显著性水平下,查表可得，即拒绝原假设，接受备择假设，不能接受该批玻璃纸.4、某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为9.73根，标准差为1.60根.现在把经纱上浆率降低20%，抽取200台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著水平=0.05）？【解】设经纱断头率为总体，则，从中选取容量为200的样本，测得.由题意，设原假设为，备择假设为.构造检验统计量，则在显著性水平下,查表可得，即接受原假设，认为断头率没有受到显著影响.5、某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布.某日开工后，随机抽查10箱,重量如下（单位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9.问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与100是否有显著差异?（显著性水平=0.05）【解】设每箱重量为总体，则，从中选取容量为10的样本，测得，.由题意，设原假设为，备择假设为.构造检验统计量，则，在显著性水平下,查表可得，即接受原假设，认为每箱重量无显著差异.6、某自动机床加工套筒的直径X服从正态分布.现从加工的这批套筒中任取5个，测得直径分别为(单位:)，经计算得到 , .试问这批套筒直径的方差与规定的有无显著差别？（显著性水平）【解】设这批套筒直径为总体，则，从中选取容量为5的样本，测得，.由题意，设原假设为，备择假设为.构造检验统计量，则，在显著性水平下,查表可得，从而.即接受原假设，认为这批套筒直径的方差与规定的无显著差别.7、甲、乙两台机床同时独立地加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布、（未知）.今从甲机床加工的轴中随机地任取6根，测量它们的直径为，从乙机床加工的轴中随机地任取9根，测量它们的直径为，经计算得知： , ，.问在显著性水平下，两台机床加工的轴的直径方差是否有显著差异？【解】设两台机床加工的轴的直径分别为总体，则、，从总体中选取容量为6的样本，测得.从总体中选取容量为9的样本，测得由题意，设原假设为，备择假设为.构造检验统计量，则，在显著性水平下,查表可得，从而.即接受原假设，认为两台机床加工的轴的直径方差无显著差异.8、某维尼龙厂根据长期正常生产积累的资料知道所生产的维尼龙纤度服从正态分布，它的标准差为0.048.某日随机抽取5根纤维，测得其纤度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.问该日所生产得维尼龙纤度的均方差是否有显著变化（显著性水平=0.1）？【解】设维尼龙纤度为总体，则，从中选取容量为5的样本，测得，.由题意，设原假设为，备择假设为.构造检验统计量，则在显著性水平下,查表可得.即拒绝原假设，认为维尼龙纤度的均方差有显著变化.9、某项考试要求成绩的标准差为12，先从考试成绩单中任意抽出15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否符合要求（显著性水平=0.05）?【解】 设考试成绩为总体，则，从中选取容量为15的样本，测得.由题意，设原假设为，备择假设为.构造检验统计量，则.在显著性水平下,查表可得，从而.即接受原假设，认为此次考试的标准差符合要求.10、某卷烟厂生产甲、乙两种香烟，分别对他们的尼古丁含量（单位：毫克）作了六次测定,获得样本观察值为：甲：25，28，23，26，29，22；乙：28，23，30，25，21，27.假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等,试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异（显著性水平=0.05，）？对这两种香烟的尼古丁含量，检验它们的方差有无显著差异（显著性水平=0.1）？【解】设这两种烟的尼古丁含量分别为总体，则、，从中均选取容量为6的样本，测得，由题意，在方差相等时，设原假设为，备择假设为.构造检验统计量,其中.则，在显著性水平下,查表可得.即接受原假设，认为这两种香烟的尼古丁平均含量无显著差异.由题意，在方差待定时，设原假设为，备择假设为.构造检验统计量，则，在显著性水平下,查表可得，由 .即接受原假设，认为它们的方差无显著差异.同步自测题及参考答案一、选择题1、关于检验水平的设定,下列叙述错误的是 【 】的选取本质上是个实际问题,而非数学问题.在检验实施之前, 应是事先给定的,不可擅自改动.即为检验结果犯第一类错误的最大概率.为了得到所希望的结论,可随时对的值进行修正.2、关于检验的拒绝域W,置信水平,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是 【 】的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述.事件为真即为一个小概率事件.设W是样本空间的某个子集，指事件.确定恰当的W是任何检验的本质问题.3、设总体未知,通过样本检验假设,此问题拒绝域形式为 【 】. . . . 4、设为来自总体的样本,若未知, ,关于此检验问题,下列不正确的是 【 】 检验统计量为 . 在成立时, .拒绝域不是双边的. 拒绝域可以形如.5、设总体服从正态分布，是的一组样本，在显著性水平下，假设“总体均值等于75”拒绝域为，则样本容量 【 】 36. 64. 25. 81.二、填空题1、为了校正试用的普通天平,把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进行称量,得如下结果: 99.3, 98.7, 100.5, 101,2, 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5, 99.2假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,为 .2、设样本来自总体未知，对于检验取拒绝域形如，若取，则值为 .3、设是正态总体的一组样本.现在需要在显著性水平下检验假设.如果已知常数，则的拒绝域_；如果未知常数，则的拒绝域_.4、在一个假设检验问题中令是原假设，时备择假设，则犯第一类错误的概率，犯第二类错误的概率.三、解答题1、某批矿砂的5个样本中的镍含量，经测定为（%）3.25，3.27，3.24，3.26，3.24设测定值总体服从正态分布，问在下，能否接受假设：这批矿砂的含量的均值